Минимальная энергия квантового гармонического осциллятора

Еще одной особенностью спектра энергии квантового осциллятора является конечная (не равная нулю) минимально допустимая энергия:

соответствующая значению квантового числа

В реальных квантовых системах, например, кристаллах, эти колебания сохраняются, как показывает опыт, даже при температурах, близких к абсолютному нулю, когда, казалось бы, все тепловое движение должно прекратиться.

Нулевые колебания играют в физике весьма важную роль, в частности они обусловливают отсутствие кристаллизации жидкого гелия при нормальном давлении даже при абсолютном нуле температур. Велика роль нулевых колебаний и в объяснении природы сил молекулярных взаимодействий, физических особенностей поверхностного натяжения, адсорбции и других молекулярных явлений. На эксперименте наличие нулевых колебаний наблюдается, в частности, в опытах по рассеянию света кристаллами при низких температурах.

Покажем, что значение нулевой энергии (34) есть как раз то минимальное значение энергии осциллятора, которое согласуется с требованиями соотношения неопределенностей.

Поместим начало координат в точку, являющуюся положением равновесия гармонического осциллятора, совершающего колебания по закону

Тогда неопределенность координаты принимает вид

где амплитуда колебаний, которая определяется следующим выражением

Амплитуда колебаний связана с энергией E соотношением

следовательно

Аналогично, для неопределенности импульса имеем

Подставляя значения (37) и (39) в соотношение неопределенностей

получаем следующее условие

Действительно, минимальное значение энергии гармонического осциллятора есть