Вывод законов отражения и преломления для плоской световой гармонической волны

Будем считать, что параметры среды заданы

(1)

Тогда запишем

(2) -для s-поляризации

В случае s- поляризации очевидно, что лежит || границе раздела в пл-ти XOZ

Запишем граничные условия, кот должны выполняться:

(3)

Так как все вдоль оси У, то умножим скалярно на n_y, получим:

(4)

Р\м очевидно, по (2)получим

Cледовательно (4) примет вид:

(5)

(5)-физическое требование, оно должно выполняться точек x и y, при чем x и y меняются независимо

Предположим, что в точке (x₁,y₁) (5) выполняется. Очевидно, что если мы сместимся на ( ), то равенство нарушается.

Мы найдем единственный вариант, когда это равенство будет выполнено дл любого х и у, чтоб уровнять по у потребуем:

(6) – первый закон отражения и преломления.

Волновые век-ры падающей, отраженной и прошедшей волн лежат в одной плоскости - пл-ти падения(Причина: (6) означается что у к^R и к^t не имеют у-состовляющей)

Таким образом (7)

Вывод: предположив,что y существует у отраженной и прошедшей волны, мы доказали что его нет.

Уберем из (5)зависимость от у, получим

(8)

Единственное условие, при котором равенство (8) вычисляется для любых х является:

(9)

Р\м вариант вывода, когда все векторы и углы явл-ся вещественными:

(10) (11), где k - волновые числа, m – единичные вектора

Используем дисперсионное ур-ие:

(12)

Р\м 2-е волны падающую и отраженную. Они распрастраняются в одной среде (в первой). А прошедшая во второй. Следовательно паспорт волны для каждой из волн примет вид:

(13) => (14)

Зная длины , р\м 1-ую часть (9) с учетом второго рисунка:

C учетом (14) (15)

В силу (14) получим (16)

Углы определены от 0 до π/2. В этом диапазоне ф-ция явл-ся однозначно монотонно возрастающей ф-цией аргумента => из (16) следует равенство аргументов (17) – второй закон отражения и преломления (угол падения = углу отражения)

По определнию введем: (18)

Поскольку ε и μ заданы, то следоватльно и n тоже заданы, тогда запишем: (19)

Р\м (9) с краев: Очевидно получим: (20)

(подставим (19) сократим и получим): (21)

Т.е.: (22)

Мы получили 3-ий закон отражения и преломления – звкон Снеллиуса (отношение угла падения к углу преломления равно обратному отношению показателей преломления)

14. Вывод формулы для амплитуды отраженной волны по известной амплитуде падающей волны . Случай s - поляризации.

На рисунке параметры I- среды ε1 и μ1; параметры II – среды ε2 и μ2

по рисунку видим что , ϵ XZ, = . Тангенсальная составляющая есть х. Т.е.

Запишем одно из граничных условий, для этого выразим компоненту через амплитуду А.

(1) т.о. требуется найти .

(2)

(3)

(4)

Left(4)=

С учетом(3)

(5)- формула без учета exp

Right (4) (6)

(7)

Введем по определению ИМПЕДАНС среды Z:

(8) – волновое сопротивление

С учетом сказанного:

(9)

(5)=(6), получим:

(10)

!!!ОТСТУПЛЕНИЕ: Зная законы отражения введем обозначение:

– известно

С учетом этого запишем поля в удобном виде:

(1’)

((Законы отражения и преломления:

))

(*)

(**)

Из (*) и (**) следует:

(***)

В силу этого получаем:

(получили зная 3 закон преломления)

Вывод: все константы в (1’) известны

И у нас появляется сильно облегченный вариант граничного условия в виде !!! Конец отступления.

(11)

Мы получили СЛАУ относительно неизвестных все оставшиеся величины θ₀, А₀, известны.

(12) – метод исключения Гаусса

ð (13)

Вернемся к 11, запишем:

=>

(14)

Формула 14 есть одна из важных и окончательных формул Френеля в оптике, выражающая А_R через A₀ для s-поляризации через Импеданс.

15. Вывод формулы для амплитуды отраженной волны по известной амплитуде падающей волны . Случай s - поляризации.

на рисунке параметры I- среды ε1 и μ1; параметры II – среды ε2 и μ2

по рисунку видим что , ϵ XZ, = . Тангенсальная составляющая есть х. Т.е.

Запишем одно из граничных условий, для этого выразим компоненту через амплитуду А.

(1) т.о. требуется найти .

(2)

(3)

(4)

Left(4)=

С учетом(3)

(5)- формула без учета exp

Right (4) (6)

(7)

Введем по определению ИМПЕДАНС среды Z:

(8) – волновое сопротивление

С учетом сказанного:

(9)

(5)=(6), получим:

(10)

Зная, что из вопроса 13

(11)

Мы получили СЛАУ относительно неизвестных все оставшиеся величины θ₀, А₀, известны.

(12) – метод исключения Гаусса

ð (13)

Формула 13 есть одна из важных и окончательных формул Френеля в оптике, выражающая А_t через A₀ для s-поляризации через Импеданс.