Ре­ше­ние. Изоб­ра­же­ние тре­уголь­ни­ка по­стро­е­но на ри­сун­ке

Изоб­ра­же­ние тре­уголь­ни­ка по­стро­е­но на ри­сун­ке.

Изоб­ра­же­ние точки B удоб­но найти как пе­ре­се­че­ние луча, про­хо­дя­ще­го через центр линзы и луча, па­да­ю­ще­го на линзу пер­пен­ди­ку­ляр­но глав­ной оп­ти­че­ской оси.

Изоб­ра­же­ние точки С на­хо­дит­ся в точ­но­сти под изоб­ра­же­ни­ем точки В. По­ло­же­ние изоб­ра­же­ния точки А легко опре­де­лить из фор­му­лы тон­кой линзы:

По­сколь­ку точка А на­хо­дит­ся в двой­ном фо­ку­се, то , а зна­чит, и , то есть изоб­ра­же­ние точки А также на­хо­дит­ся в двой­ном фо­ку­се.

На­ко­нец, легко по­нять, что изоб­ра­же­ние тре­уголь­ни­ка вновь будет тре­уголь­ни­ком. Дей­стви­тель­но, если про­пу­стить луч через сто­ро­ну ВА, то после пре­лом­ле­ния на этом луче будут на­хо­дить­ся изоб­ра­же­ния всех точек со сто­ро­ны ВА, то есть ги­по­те­ну­за пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка пе­рей­дет в ги­по­те­ну­зу тре­уголь­ни­ка-изоб­ра­же­ния.

Ка­те­ты тре­уголь­ни­ка АВС равны

Най­дем рас­сто­я­ние от линзы до изоб­ра­же­ния точки С ():

Го­ри­зон­таль­ный катет равен

Из по­до­бия тре­уголь­ни­ков для вер­ти­каль­но­го ка­те­та тре­уголь­ни­ка-изоб­ра­же­ния имеем

Таким об­ра­зом, пло­щадь тре­уголь­ни­ка изоб­ра­же­ния равна:

Пра­виль­ный ответ:

При­ме­ча­ние:

В ре­ше­ние можно было ис­поль­зо­вать тот факт, что тре­уголь­ник-изоб­ра­же­ние также яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ным. Это сле­ду­ет из того факта, что луч, про­хо­дя­щий через двой­ной фокус после пре­лом­ле­ния в линзе снова по­па­дет в двой­ной фокус. Тем самым после пре­лом­ле­ния в линзе луч идет по тем же самым углом к глав­ной оп­ти­че­ской оси, что и до пре­лом­ле­ния в линзе. По­сколь­ку в нашем слу­чае этот угол равен , то рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник снова по­лу­чит­ся рав­но­бед­рен­ным.

24. C 5 № 5177. Рав­но­бед­рен­ный пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник ABC рас­по­ло­жен перед тон­кой со­би­ра­ю­щей лин­зой оп­ти­че­ской силой 2,5 дптр так, что его катет АС лежит на глав­ной оп­ти­че­ской оси линзы (см. ри­су­нок). Вер­ши­на пря­мо­го угла С лежит ближе к цен­тру линзы, чем вер­ши­на остро­го угла А. Рас­сто­я­ние от цен­тра линзы до точки А равно удво­ен­но­му фо­кус­но­му рас­сто­я­нию линзы, АС = 4 см. По­строй­те изоб­ра­же­ние тре­уголь­ни­ка и най­ди­те пло­щадь по­лу­чив­шей­ся фи­гу­ры.