Взаимная индукция

Рассмотрим опыты Фарадея более подробно. Если две катушки расположены поблизости друг от друга (рис. 4.3.), то изменение тока под действием источника переменной ЭДС E ₁ в одной из них приведет к появлению ЭДС индукции в другой. Это явление называют взаимной индукцией. Согласно закону Фарадея, ЭДС индукции E ₂ в катушке 2 пропорциональна скорости изменения пронизывающего магнитного потока. Магнитное поле, линии которого пронизывают катушку 2, создается током I₁. При этом каж­дый виток катушки 2 пронизывает магнитный поток Ф₂₁. Величина N₂Ф₂₁ называется потокосцеплением катушки 2, содержащей N₂ витков плотной намотки.

Поскольку магнитная индукция поля, создаваемого током, всегда пропорциональна силе тока, потокосцепление катушки 2 также будет пропорционально силе тока I₁ в катушке 1: N₂Ф₂₁ ~ I₁.

Коэффициент пропорциональности называет­ся взаимной индуктивностью М₂₁ (коэффициентом взаим­ной индукции) катушек 1 и 2:

. (4.3)

Единица измерения взаимной индуктивности в СИ – генри: 1Г=1Вб/А или с учетом формулы (4.1) связи потока с ЭДС: 1 Г=1 В×с/А= 1 Ом×с.

В соответствии с (4.2) и с учетом (4.3) ЭДС E ₂, возбуждаемая в катушке 2 изменяющимся током в катушке 1, равна

.

Мы получили выражение, связывающее ЭДС индукции в катушке 2 с током в катушке 1. Взаимная индуктив­ность L₂₁ катушки 2 по отношению к катушке 1 зависит от размеров, формы, числа витков и взаимного располо­жения двух катушек, Например, чем бли­же катушки на рис. 4.3 друг к другу, тем больше силовых линий пройдет через катушку 2 и тем больше будет коэффициент взаимной индукции L₂₁.

Взаимная индуктив­ность зависит также от материала сердечника - железа или другого ферромагнетика. При заполнении поля такой средой взаимная индуктивность увеличивается в m раз, где m - относительная магнитная проницаемость вещества. Физический смысл этой величины будет рассмотрен в разделе 5.2.

Рассмотрим теперь обратный случай, когда изменяю­щийся под действием внешней переменной ЭДС ток в катушке 2 возбуждает ЭДС в катушке 1. В этом случае: , где L₁₂ - коэффициент взаимной индукции катушки 1 по отношению к катушке 2. Можно показать, что L₁₂ = L₂₁.

Найдем взаимную индуктивность длинного тонкого соленоида длиной l с площадью поперечного сечения S, содержащего N₁ витков плотной намотки и намотанной поверх него изолированным проводом катушки с числом витков N₂ (рис. 4.4), считая, что весь магнитный поток соленоида (катушки 1) проходит через катушку 2.

Как следует из (4.3), для этого необходимо найти поток Ф₂₁, пронизывающий плоскость каждого витка катушки 2. По определению поток равен Ф₂₁ = B₁S,

где - индукция магнитного поля, созданного соленоидом (см. формулу (3.15)), имеющим сердечник, выполненный из материала с относительной магнитной проницаемостью m. Подставив выражение для потока в (4.3), получим:

(4.4)

Взаимная индук­ция используется в трансформаторах, а также во всех случаях, когда необходимо передать электрический сигнал на малое расстояние без использования гальванической (проводной) связи между цепями.

Иногда, однако, из-за индуктивной связи возникают проблемы. Цепи переменного тока (линии передачи электроэнергии, трансформаторы) способны воз­буждать ЭДС в других цепях. Даже если взаимная индуктивность невелика, слабый сигнал частоты переменного тока 50 Гц (фон), наведенный на вход усилителя музыкального комплекса, может испортить впечатление от прослушивания музыкального произведения. Для ослабления наводок обычно при­меняют экранированные кабели, внутренний проводник в которых окружен заземленным цилиндрическим метал­лическим экраном, а также стремятся уменьшать длину защищаемой от наводок цепи с целью уменьшения взаимной индуктивности. Явление самоиндукции. Ток при замыкании и размыкании цепи

Магнитный поток, создаваемый магнитным полем любого проводника, пропорционален силе тока в этом проводнике (как и магнитная индукция - см., например, формулы (3.9) и (3.12), (3.15)): Ф_м ~ I.

Коэффициент пропорциональности называется индуктивностью проводника. Как и взаимная индуктивность, индуктивность измеряет­ся в генри. Значение индуктивности зависит от геометрии проводников и наличия ферромагнитного материала. Для увеличения индуктивности проводник наматывают в виде катушки, индуктивность которой зависит от числа витков и магнитной проницаемости сердечни­ка (если он помещен в катушку). В принципе, ин­дуктивность можно определить для любой цепи или ее части.

Найдем индуктивность длинного соленоида. Поток через один виток равен Ф_i = BS, где - индукция магнитного поля, созданного соленоидом (см. формулу (3.15)). Поток, пронизывающий все витки соленоида, равен Ф_м =NФ_i, тогда

, (4.5)

где n=N/l – число витков на единицу длины соленоида, V=Sl – объем соленоида.

Явление возникновения ЭДС в проводнике с током при изменении собственного магнитного потока, создава­емого этим током, называется самоиндукцией. Возника­ющую при этом ЭДС называют ЭДС самоиндукции:

. (4.6)

ЭДС самоиндукции возникает как при изменении тока, так и при изменении индуктивности. Действительно, если подставить в (4.6) выражение для магнитного потока в виде , то получим:

Если индуктивность не зависит от тока и является постоянной величиной, ЭДС самоиндукции определится как[2]:

. (4.7)

Рис. 4.5. Схема для демонстрации явления самоиндукции.

Явление самоиндукции можно наблюдать на опыте (рис. 4.5). При замыкании цепи лампа Л₂, включенная в цепь с катушкой индуктивности (индуктивность изображается символом ), загорается позже, чем лампа Л₁, включенная последовательно с резистором.

В момент замыкания ключа, соединяющего цепь с источником тока, в цепи возникает нарастающий ток, вызывающий появление в катушке ЭДС самоиндукции, препятствующей увеличе­нию тока. Однако по мере возрастания силы тока напряжение на лампе Л₂ увеличивается, а на индуктивно­сти - уменьшается. Таким образом, ток в цепи постепенно нарастает и приближается к максималь­ному значению, примерно такому же, как в лампе Л₁. Резистор R, включенный последовательно этой лампе, как раз и служит для подбора одинакового тока в двух лампах.

Процесс нарастания тока в цепи можно описать мате­матически, применив к цепи[3], изображенной на рис. 4.6, правило Кирхгофа. Поскольку любая катушка индуктивности обладает электрическим сопротивлением, реальную катушку мы представили в виде последовательно соединенных индук­тивности L и резистора R. Сопротивление источника тока не учитываем.

В момент размыкания ключа К в замкнутой цепи появляется ЭДС источника E и при нарастании тока I в цепи возникает ЭДС самоиндукции катушки

E_S = -L(dI/dt). На основании второго правила Кирхгофа (см. раздел 2.4) составляем уравнение:

.

Мы получили линейное дифференциальное уравнение, которое можно решить методом разделения переменных. Приведем его к виду: и проинтегрируем левую и правую части:

, откуда .

Потенцируя данное выражение, получаем: . Приведем последнее к виду: , (4.8)

где I₀ = E /R – установившееся значение тока, t = L/R – постоянная времени цепи. Значение t = t есть время, за которое сила тока достигает величины I₀ (1 - 1/ е)= 0,63 I₀, или 63% от своего установившегося значения.

Если перебросить переключатель K (рис. 4.6) в положение, при котором источник тока замыкается (выключается из цепи) в тот момент, когда сила тока в цепи была равной I₀, то ток в цепи начинает уменьшаться и возникающая ЭДС индукции будет направлена так, чтобы замедлять его уменьшение.

На основании второго правила Кирхгофа составим уравнение для этого случая: . Разделим переменные и проинтегрируем левую и правую части: , откуда или

. (4.9)

Таким образом, ток экспоненциально убывает до нуля. При t = t ток составляет I₀/е = I₀/ 2,71.

Поскольку реальные цепи всегда обладают индуктивностью, пусть даже малой индуктивностью соединительных проводов, ток при включении цепи достигает максимального значения с некоторой задержкой.

[1] Имеются сведения, что Джозеф Генри (1797-1878) сделал открытие раньше Фарадея, но Фарадей первым опубликовал свои результаты и провел более детальные исследования.

[2] Индуктивность катушки может зависеть от силы тока в ней, если имеется ферромагнитный сердечник.

[3] Использовать в практических целях данную схему не рекомендуется, так как замыкание ключом К источника тока приводит к выводу его из строя.