Формула линзы. Действительное и мнимое изображение

Изображение в линзе точек, лежащих на главной оп­тической оси. Формула линзы. Пусть точечный источник света находится в точке S на главной оптической оси линзы, на расстоянии а от ее оптического центра О (рис. 197). Рас­смотрим, как будет преломляться в линзе узкий пучок лучей, примыкающий к прямой SO, являющейся осью этого пучка *).

Пусть один из лучей (SM) светового пучка падает на первую преломляющую поверхность линзы в точке М, находящейся на высоте h над осью. То обстоятельство, что мы ограничиваемся узким пучком лучей, означает, что h мало по сравнению с расстоянием а от источника до линзы. С другой стороны, так же как и в § 88, будем считать, что h мало по сравнению с f ', а следовательно, и по сравнению с радиусами R ₁ и R ₂ ограничивающих линзу поверхностей. Угол, образуемый лучом SM с осью, обозначим g. Так как h мало, то и угол g мал. Преломленный луч пойдет по на­правлению ММ' и, преломившись снова на второй ограни­чивающей линзу поверхности, выйдет из линзы по направ­лению M'S', составляющему с осью угол g '. Обозначим через а' расстояние от оптического центра линзы до точки S', в которой преломленный луч пересекает главную ось.

*) Такие пучки обычно называют параксиальными (приосевыми).

Как и в предыдущем параграфе, проведем через точ­ки М и М' плоскости, касательные к преломляющим по­верхностям линзы. Эти плоскости образуют тонкую призму ВАВ' с преломляющим углом q. Вместо того чтобы рас­сматривать преломление луча SMM'S' в линзе, будем рас­сматривать преломление того же луча в тонкой призме ВАВ'.

Выбранный нами луч после преломления отклонится от первоначального направления на угол а, который по фор­муле тонкой призмы равен

(89.1)

где n — показатель преломления вещества, из которого сделана линза.

Рассмотрим также луч РМ, идущий параллельно глав­ной оси и падающий на линзу в точке М. Преломление та­кого луча уже рассмотрено в § 88 (условие малости h здесь соблюдено). Мы знаем, что после преломления в линзе этот луч выйдет из точки М" под углом j к оси и пройдет через главный фокус F' на расстоянии f ' от оптического центра.

Рис. 197. Преломление в линзе луча SM, выходящего из точки S на оси. Угол ВАВ' и толщина линзы сильно преувеличены

Точки М' и М" очень близки друг к другу, так что призмы, образованные касательными в точке М и точках М' или М", практически не различаются и имеют один и тот же прелом­ляющий угол q. Угол a', на который отклонится этот луч от первоначального направления после преломления в тон­кой призме, равен опять (n —1)q, т. е. равен углу a. С дру­гой стороны, этот угол a' равен, очевидно, углу j (рис. 197).

Таким образом, получаем

(89.2)

Но угол а как внешний угол в треугольнике SNS' равен сумме g+g'. Итак, имеем

(89.3)

Лучи SM, M'S' и M"F' идут под небольшими углами к оси, т. е. углы g, g' и j малы. Заменяя, как и в предыдущем параграфе, синусы малых углов самими углами и прене­брегая толщиной линзы и разницей в высоте точек М, М' и М" над осью, можно приближенно написать:

(89.4)

Подставляя эти приближенные равенства в формулу (89.3), находим

(89.5)

или, сокращая на общий множитель h,

(89.6)

В правой части полученного выражения стоит величина 1 /f', которая, как мы видели в предыдущем параграфе, за­висит только от свойств линзы — от пока­зателя преломления вещества, из которого сделана линза, и от радиусов кривизны ее преломляющих поверхностей.

То обстоятельство, что в формулу (89.6) не входит вели­чина h, позволяет сделать очень важные выводы, а именно, что не только луч SM, но и всякий другой луч, выходящий из точки S, пройдет после преломления в линзе через одну и ту же точку S', хотя каждый из этих лучей падает на линзу на разной высоте над осью. Единственное, но весьма существенное ограничение, кото­рое мы накладываем на рассматриваемые лучи, состоит в том, что все они составляют с осью линзы малые углы.

Таким образом, все лучи узкого пучка, выходящие из точки S, соберутся после преломления в линзе снова в одной точке S', являющейся изображением точки S. Мы доказали, следовательно, что образующееся в тонкой линзе изобра­жение точечного источника, лежащего на главной оси линзы, полученное с помощью достаточно узкого пучка лучей, явля­ется точкой.

Изображения, при получении которых выполнено ус­ловие передачи каждой точки объекта одной точкой изображения, носят название стигматических. Изображения, у которых это условие не соблюдено, носят название астигматических *).

Отметим, что в силу закона обратимости световых лучей (§ 82) положения источника света S и его изображения S' обратимы, т. е., поместив источник в S', мы полу­чим его изображение в точке S. Точки S и S' называются сопряженными.

В геометрической оптике особое значение имеет задача получения стигматических изображений. Степень стигматичности изображений определяет качество служащих для их получения оптических систем. Нарушение оптической системой стигматичности падающих на нее световых пучков ведет к расплывчатости изображения. В дальнейшем при изучении простейших оптических систем мы будем уделять большое внимание вопросу о стигматичности даваемых ими изображений.

Полученная нами формула (89.6) связывает между собой расстояния от оптического центра трех точек, находящихся на главной оси линзы: источника S, его изображения S' и фокуса F'. Это — основная формула тонкой линзы.

§ 90. Применения формулы тонкой линзы. Действительные и мнимые изображения. Предположим, что светящаяся точка S, лежащая на главной оси линзы, удаляется от лин­зы на очень большое расстояние. В этом случае лучи, па­дающие на линзу, будут стремиться стать параллельными ее главной оси. Мы видели в §88, что после преломления в линзе эти лучи соберутся в фокусе F' линзы. В формуле (89.6) при удалении источника на очень большое расстояние величина На стремится к нулю, и мы получаем

т. е. можно сказать, что фокус F' есть изображение «беско­нечно удаленной» точки.

Примером практически бесконечно удаленного источника может служить любое небесное тело. Следовательно, изоб­ражения звезд, Солнца и т. д. будут находиться в фокусе линзы. Достаточно далекие от линзы земные источники света также дают изображение в ее фокусе.

*) Стигма значит по-гречески точка, стигматический — точеч­ный, частица «а» впереди слова — знак отрицания. Астигматический значит неточечный

Предположим теперь, что изображение некоторой точки удалено на очень большое расстояние, т. е. из линзы вы­ходит пучок световых лучей, параллельных главной оси. В этом случае, как мы видели в § 88, источник должен нахо­диться в переднем фокусе линзы F (рис. 196). Этот вывод следует и из формулы (89.6). Действительно, полагая, что изображение находится в бесконечности, получаем 1/ а '=0; при этом расстояние источника от линзы равно фокусному расстоянию: а=f=f'.

Различные линзы отличаются одна от другой располо­жением центров образующих их сферических поверхностей,

Рис. 198. Различные типы линз. Если материал линз преломляет силь­нее, чем окружающая среда, то ти­пы а, б, в — собирающие; типы г, д, е — рассеивающие

их радиусами и показателями преломления вещества, из которого сделаны линзы. На рис. 198 представлены шесть основных типов линз.

Если параллельные лучи после преломления в линзе сходятся, действительно пересекаясь в некоторой точ­ке, лежащей по другую сторону линзы, то линза называется собирающей или положительной (рис. 199, а). Если же

Рис. 199. Действительный фокус собирающей линзы (а) и мнимый фокус рассеивающей линзы (б)

параллельные лучи после преломления в линзе становятся расходящимися (рис. 199, б), то линза называется рассеивающей или отрицательной. В случае рассеивающей линзы в фокусе пересекаются не преломленные лучи, а их воображаемые продолжения; при этом фокус лежит с той же стороны от линзы, с которой падает на линзу параллель­ный пучок лучей. Фокусы в этом случае называются мни­мыми (рис. 199, б).

Обычно материал линзы преломляет сильнее, чем окру­жающая среда (например, стеклянная линза в воздухе). Тогда собирающими линзами являются линзы, утолща­ющиеся от краев к середине,— двояковыпуклая и плоско­выпуклая линзы и положительный мениск (вогнуто-выпук­лая линза; рис. 198, а — в). Рассеивающими линзами являются линзы, становящиеся тоньше к середине: двояко­вогнутая, плосковогнутая линзы и отрицательный мениск

Рис. 200. Двояковыпуклые линзы: а) стеклянная в воздухе — собираю­щая; б) воздушная в воде — рассеивающая

(выпукло-вогнутая линза; 198, г — д). Если материал линзы преломляет слабее, чем окружающая среда, т. е. относи­тельный показатель преломления n <1, то, наоборот, линзы а, б, в (рис. 198) будут рассеивающими, а линзы г, д, е — собирающими. Такие линзы можно получить, например, образовав в воде двумя часовыми стеклами, склеенными вос­ком, воздушную полость соответствующей формы (рис. 200). Перейдем к рассмотрению светящихся точек, находящих­ся на конечном расстоянии от линзы. Будем всегда считать источники расположенными слева от линзы. Что касается изображений, то в зависимости от вида линзы и положения источника относительно нее изображение S' может находиться как справа, так и слева от линзы. Если изображение лежит справа от линзы, то это означает, что оно образовано сходящимся пучком лучей (рис. 201, а), т. е. лучей, которые действительно проходят через точку S'. Изображение в этом случае называется действительным. Оно может быть получено на экране, фотопластинке и т. п. Восстановив ход лучей, приведших к образованию изоб­ражения, мы можем всегда найти местоположение источника, хотя практически это обычно связано с не­которыми трудностями.

Предположим теперь, что изображение лежит слева от линзы, т. е. с той же стороны от нее, как и источник. Это означает, что пучок лучей, расходящихся от источника, после преломления в линзе становится еще более расходя­щимся, и в точке S' пересекаются лишь воображаемые про­должения преломленных лучей (рис. 201, б). Изобра­жение в этом случае называется мнимым.

Рис. 201. Источник и действительное изображение лежат с разных сто­рон от линзы (а); мнимое изображение находится с той же стороны от линзы, что и источник (б)

Укоренившийся в оптике термин «мнимое изображение» может привести к некоторым недоразумениям. В действитель­ности ничего «мнимого» в этом случае, конечно, нет. Осо­бенностью мнимых изображений является то, что их нельзя получить непосредственно на экране, фотопластинке и т. п. Например, если поместить в точке S ' (рис. 201, б) очень маленький экран, не мешающий попаданию основной части лучей на линзу, то мы не получим на нем светящейся точки. Однако расходящийся пучок лучей, вооб­ражаемые продолжения которых пересекаются в мнимом изображении, сам по себе не имеет ничего «мнимого». Этот пучок можно превратить в сходящийся пучок, если на пути его поставить надлежащим образом выбранную собирающую линзу. Тогда на экране или фотопластинке мы будем иметь реальное изображение S" светящейся точки S (рис. 202), которое в то же время можно рассматривать как изображе­ние «мнимой точки» S'.

Роль подобной собирающей линзы выполняет также глаз человека; на светочувствительной оболочке глаза — сетчатке — собираются расходящиеся от источников света лучи. Пучок расходящихся лучей, исходят ли они от реального точечного источника S или от его мнимого изобра­жения S', может быть собран оптической системой глаза в одну точку на сетчатке. В повседневной жизни наблюдатель приобретает привычку автоматически восстанавливать ход лучей, давших изображение на сетчатке, и определять ме­стоположение источника. Когда в глаз попадает расходя­щийся пучок лучей (с вершиной в S'), изображенный на

Рис. 202. Превращение расходящегося пучка лучей в сходящийся с помощью вспомогательной собирающей линзы (например, глаза)

рис. 202, то, «восстанавливая» место, откуда вышли эти лучи, мы видим в точке S ' источник, хотя в действи­тельности в данной точке источника нет. Этот-то вообра­жаемый источник мы и называем «мнимым» изображением точки S.

Пользуясь формулой (89.6), нетрудно проследить, как меняется положение изображения по мере перемещения источника вдоль главной оптической оси (см. упражнения 31, 32 в конце этой главы),