Дифференциальное уравнение диффузии и теплопроводности

Уравнение диффузии или уравнение теплопроводности представляет собой частный вид дифференциального уравнения в частных производных. Бывает нестационарным и стационарным. Математически уравнение диффузии и уравнение теплопроводности не различаются, и применение того или иного названия ограничено только конкретным приложением, причем второе представляется более частным, так как можно говорить, что в этом случае речь идет о диффузии тепловой энергии. В случае одномерного диффузионного процесса с коэф-том диффузии (теплопроводности) D уравнение имеет вид: где — концентрация диффундирующего вещества, a — функция, описывающая источники вещества (тепла).n-мерный случай: Т. у. выражает тепловой баланс для малого элемента объёма среды с учётом поступления теплоты от источников и тепловых потерь через поверхность элементарного объёма вследствие теплопроводности. Для изотропной неоднородной среды Т. у. имеет вид:

где p— плотность среды; Cv — теплоёмкость среды при пост. объёме V; t — время; х, у, z — координаты; Т= Т(х, у, z)—темп-ра, к-рая вычисляется при помощи Т. у.; ג - коэфф. теплопроводности; F=F(x, y, z) — заданная плотность тепловых источников. Величины r, Cv, ג зависят от координат и, вообще говоря, от Т. В случае изотропной однородной среды Т. у. принимает вид: , а2=ג/(rCv) — коэфф. температуропроводности, f=F/(rCv).