Первый закон термодинамики для потока вещества

Пусть идеальный, нетеплопроводящий газ (m = 0, l = 0, m – коэффициент динамической вязкости, l – коэффициент теплопроводности) движется в однородном поле тяжести. В каждом сечении S трубки тока (см. рис. 1) выполняется локальное термодинамическое равновесие. Имеем следующий закон сохранения вещества при стационарном течении (уравнение расхода)

Рис. 1. (отсутствует)

j = S r W = SW / v = const.

За малое время D t через любое сечение проходит M = j D t количество вещества. Далее находим изменение различных видов энергии в трубке (разность между выходящим и входящим потоком энергии на торцах трубки тока)

D E _пот = g (z ₂ – z ₁) j D t,

D E _внут = (u ₂ – u ₁) j D t,

–D E _внеш = D W _внеш = F ₁D l ₁– F ₂D l ₂ = (p ₁ S ₁)(W ₁D t) – (p ₂ S ₂)(W ₂D t) = –(p ₂ v ₂ – p ₁ v ₁) j D t.

Величина D W _внеш – работа внешних сил давления над газом за промежуток времени D t, заставляющих его двигаться. В идеальной жидкости (газе) через боковую поверхность трубки обмена механической энергии нет. Из баланса энергии для вещества между сечениями S ₁ и S ₂ находим выражение для подведенной теплоты D q ´ j D t после сокращения на величину j D t:

где учтено равенство h = u + pv. В дифференциальной форме имеем

d q = W d W + g d z + d h. (1)

Соотношение (1) показывает, почему в энергетическом балансе даже при медленных течениях (пренебрежении слагаемым W d W) и отсутствии перепада высоты d z = 0 используется энтальпия (d q = d h), а не внутренняя энергия, как это реализуется при отсутствии потоков (например, в периодических процессах).

Отметим, что при движении работа сил давления не равна p d v. Давление меняется от точки к точке и это существенно. При наличии потока вещества процесс не будет квазистатическим (обратимым) так как равновесие нарушено. Отметим также, что при выводе уравнения (1) не учтены возможные работы технических устройств и сил трения (идеальная жидкость). В ТТ уравнение (1) дополняют соответствующими слагаемыми: d l _техн – технической работой и работой сил трения d l _трен и используют следующее уравнение

d q = W d W + g d z + d u + d(pv) + d l _техн + d l _трен.

14. Первый закон термодинамики для адиабатного потока вещества при отсутствии технической работы. Уравнение Бернулли.

Первый закон термодинамики (частные случаи) для потока вещества при отсутствии технической работы.

1). Принимаем, что d l _техн = 0 – нет механизмов и d l _трен = 0 – нет диссипации энергии (обратимый процесс). В частном случае идеального газа для политропного процесса уравнение (1) запишем после интегрирования, используя равенства h = C_pT, q_n = C_nT:

(2)

Отметим, что размерная постоянная в (2) определяется выбранной трубкой (линией) тока. Для разных линий тока значения постоянных в соотношении (2) могут, вообще говоря, меняться. Кроме того, const в первую очередь обозначает, что постоянная не зависит от координаты вдоль трубки тока, но она может зависеть от ряда физических параметров, определяющих процесс.

После преобразований, учитывая соотношение n = (C_p – C_n)/(C_v – C_n), получим

уравнение Бернулли для данного варианта. В случае адиабатического процесса n = k. Также просто описывается изобарический процесс n = 0. Случай несжимаемой жидкости r = const соответствует изохорному процессу n ® ¥. Из уравнения (2) находим

С этим вариантом уравнения Бернулли вы знакомы по курсу ПАХТ.

2). Для потока не совершающего технической работы d l _техн = 0, при z = const, т. е. d z = 0; и адиабатичности течения d q = dq_внеш + d q _трен = 0, имеем

W d W + d h = 0 Þ Þ (3)

15. Истечение из суживающего канала: критические давление и скорость, максимальный расход вещества.