Матричним способом

Обмежимось розглядом системи 3-х лінійних рівнянь

Запишемо такі матриці:

,

де складена з коефіцієнтів при невідомих — матриця системи, – матриця вільних членів, – матриця невідомих. Знайдемо добуток

Користуючись означенням рівності матриць, ми бачимо, що система ЛР (1) є не що інше, як рівність відповідних елементів матриць – стовпців і . Тому початкова система (1) набуває форму матричного рівняння

Для розв’язання останнього домножимо зліва рівняння (2) на обернену матрицю , вважаючи, що , отримаємо

Але , а , тоді розв’язок матричного рівняння (2) запишеться

(3)

Покажемо, що з формули (3) можна отримати формули Крамера. Дійсно, підставляючи в (3) вирази для і , маємо

За теоремою про заміщення кожний елемент останньої матриці дорівнює значенням допоміжних визначників , які були введені при розв’язуванні систем за формулами Крамера. Тому далі маємо

Звернемо увагу на те, що в формулі (3) співмножник , залежить тільки від коефіцієнтів при невідомих, а тільки від вільних членів. Тому, коли приходиться розв’язувати системи вигляду (1) з однаковими лівими частинами і різними вільними членами, то в таких випадках матричний розв’язок (3) стає зручнішим: обернену матрицю знаходимо тільки один раз і перемножуємо на нову матрицю . В той же час, за формулами Крамера прийшлося б заново обчислювати допоміжні визначники відповідно для кожного нового набору вільних членів.

Приклад 1. Розв’язати систему рівнянь матричним способом

Складемо матрицю системи

Для цієї матриці в 1.12. ми вже знайшли і обернену матрицю

Тому згідно (3) маємо

Отже,

Пропонуємо перевірити відповідь.