Классификация кривых второго порядка

Первая кв. форма поверхности, ее применения.

– радиус вектор

- уравнение линии лежащей на поверхности

- касательный вектор к линии, лежащий на поверхности

, где s – длина дуги

Вводя обозначения

получим первую квадратичную форму поверхности

Отметим некоторые свойства:

1. - линейный элемент поверхности. Говорят, что определяет метрику поверхности

2. Тождество Лагранжа

т.е. положительна определена

Найдем выражение cos через коэффициенты I кв. формы

Классификация кривых второго порядка

– уравнение кривой второго рода

Используя

приходим к виду

Опр.: Целая рациональная функция от коэффициентов называется инвариантом относительно некоторой преобразованной системы координат, если ее значение не меняется при переходе от данной системы к преобразованной, т.е. .

K – инвариант только для линии 3-го типа

Составляем характеристическое уравнение

Вывод: для того, чтобы линия 1-го типа была действительным эллипсом .

Вывод: для того, чтобы линия 1-го типа была мнимым эллипсом .

Вывод: для того, чтобы линия 1-го типа была точкой в области действительных чисел или парой мнимых пересекающихся прямых

Вывод: того, чтобы линия 1-го типа была гиперболой