Применение векторов

Векторы широко применяются в математике и физике. В геометрии с их помощью выводят уравнения плоскостей, прямых и других фигур, решают многие интересные задачи. Для этого данные в задаче соотно­шения между геометрическими и физическими объектами сначала как бы переводят на язык векторов. После чего преобразовывают полу­ченные векторные равенства и снова переводят их на обычный язык геометрии или физики.

В школьной практике часто используют следующие равенства и утверждения:

1. Если прямые АВ и CD перпендикулярны, то АВ • CD = 0;

2. о*& = |а| * |б| -coscp;

3. Если О — любая точка в пространстве, а М — середина отрез­
ка АВ (рис. 63) или точка пересечения медиан треугольника ABC
(рис. 64), то соответственно

ОМ =±(рА + Ов) или ОМ=з (оА + ОВ + Об). Докажем последние равенства. Для любых трех точек справедливы равенства ОМ +М~А = ОА, ОМ+МВ = ОВ, ОМ+~МС = ОС.

Если сложим два первых из них и учтем, что MA + MB = 0, полу­чим 2 • ОМ =ОА + ОВ, откуда ОМ=¹₂{рА + О~в).

Если теперь сложим все три равенства и учтем, что MA + MB + + МС = б, получим, 3 • ОМ =ОА + ОВ + ОС, откуда

(рис. 64).

Приведем несколько примеров на применение векторов в математике и физике.

м

Рис. 63

1. Составить уравнение плос­кости, перпендикулярной вектору ft (a; b; с), и проходящей через точку М(х₀, у₀, z₀).

Решение. Пусть К(х, у, г) — произ­вольная точка рассматриваемой плоскости а

Векторы п (а; Ъ; с) и МК (х - х₀; у - у₀; г- г₀) перпендикулярны. Поэтому их скалярное произведение равно ну () + Ъ • (у - у₀) + с • (г - z₀) = 0.

Это и есть искомое уравнение плоскости а. Если обозначить d = -(а • х₀ + Ъ • у₀ + с z_o+ d), его можно представить в виде

и + cz + d = 0.

Итак, координаты х, у, г каждой точки плоскости а удовлетворяют полученному уравнению. Можно доказать также, что координаты любой точки, не лежащей на плоскости а, этому уравнению не удовле­творяют.

Пример 2. Требуется доказать, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов сторон.

Доказательство. Пусть ABCD параллелограмм (рис. 66).

Ясно, что A^C = a + b, DB = a-b. Обе части этих равенств скалярно ум-

себя: АС ={а +

ножим сами на

и

Найдем сумму квадратов диагоналей:

Теперь с учетом равенств a = АВ = DC

и b = AD = ВС, получим:

АС² + DB² = АВ² + ВС² + DC² + DA².

Что и требовалось доказать.

Пример 3. ABCDA_iB₁C_lD₁~ прямо­угольный параллелепипед, К— точка пере­сечения медиан треугольника AJ5D. Доказать, что прямая АС_Х проходит через.К" и определить, в каком отношении точка К делит отрезок АС_г (рис. 67).

Решение. Так как К— точка пересечения медиан треугольника A_tBD, то АК = 1 (аа[ + АВ + IB}.

Так как AB = D_iC₁ и AD = A₁D₁, то

Значит АйГ= ACj. Из последнего равенства следует, что точ­ка К лежит на прямой AC_V с другой стороны, |AC_X| = 3 • |АК], следо­вательно, |АК|: \KCj\ = 1:2. Задача решена.

Пример 4. К концу кронштейна приложена сила F=mg=20H. ос = 40°. Найдите силу растяжения стержня АВ и силу сжатия стержня ВС (рис. 68).

Решение. Рассмотрим парал- лелограмм BDEC. Силы, действующие на стержни, направлены по сторонам параллелограмма BD и ВС. Считая, что в треугольнике ВСЕ известны

катет \ВЕ\ = 20 и угол ZCBE = 50°, найдем катет СЕ и гипотенузу ВС.

Имеем:

\BD\ = \СЕ\ = | F, | = 20 • tg50°«23,8 (Н),

Пример 5. (На использование скалярного произведения в физике). Сила в 16 Н, действующая в направлении движения под углом 45°, передвинула тело на расстояние 4 м. Определите работу, совершенную при помощи этой силы.

Решение. Действующую силу выразим через F, а направление движения тела через s.

Тогда \р\ = 16, |3| = 4м, ф = (>3) = 45°.

Если для определения работы воспользуемся формулой А = | р I х х | s | • cos ф, получим А = 16 • 4 • cos45°«49 (Дж).

Если направление действия силы будет равнонаправлено с направлением движения, то ф = 0, a cos ф = 1. Формула вычисления работы будет А = F

. Задачи

А

220.Векторы а, b, a + b построены с одной и той же точки. Если
вектор а + b делит угол между векторами а и & на равные части,
то какими будут векторы а и b?

221.Угол между векторами АВ и CD равен 60°. Найдите угол между

векторами: 1) ВА и CD; 2) AS и DC.

222. ABC — правильный треугольник, а О —точка пересечения высот.

Докажите, что ОА + ОВ+ОС = б.

223.С помощью векторов докажите, что диагонали ромба взаимно
перпендикулярны.

224.Катер прошел в направлении к северо-западу 2 км, а потом,
повернув на север, еще 1 км. Выберите масштаб, постройте вектор
перемещения и найдите его длину.

В

225. ABCD — тетраэдр, у которого основанием является треугольник
ABC. Все ребра тетраэдра равны. Точка Е —середина отрезка DA,

а точка F —середина стороны ВС. Докажите, что EF -AD = 0.

226.С помощью векторного метода докажите, что диагонали
прямоугольника равны.

227.С помощью векторов докажите, что высота прямоугольного
треугольника, опущенная на гипотенузу, есть среднее пропор­
циональное между двумя отрезками, на которые он делит гипо­
тенузу.

228.Докажите, что средняя линия треугольника параллельна его
основанию и равна половине основания.

229.Докажите, что средняя линия трапеции равна половине суммы
ее оснований.

230.Катер движется со скоростью 5 м/с перпендикулярно к берегу.
Ширина реки 720 м, скорость течения 1 м/с, вследствие чего за
каждые 5 м пройденного пути катер относит в сторону пер­
пендикулярно курсу на 1 м. На сколько метров он уйдет в сторону,
пока достигнет противоположного берега?

231.У пирамиды ABCD ребра AD и ВС, BD и АС перпендикулярны.
Докажите, что ребра CD и АВ также перпендикулярны.