Задачи А

193. Найдите сумму векторов а (4; 2; -4) и Ъ (6; -4; 10).

194. Найдите сумму векторов a U; о; -, о;, и с -, -, ^

195. Найдите сумму векторов: а) ~MN и ~Ш; б) PS и РД; в) АВ,
ВС, CD и Ъ~А.

196. ABCD — тетраэдр. Чему равна сумма AD +DB+BC?

197. ABCD — квадрат. AB = a, AD = b. Постройте векторы: 1) 33;
2)2b;3)3o+2b.

198. ABCD — параллелограмм. АВ = а, AD = b. Постройте вектор
За-26.

199.Найдите разность векторов а - Ъ, если: 1) а (8; -1; 5), Ъ (-2; 3; -2);
2) 5=0, Ь(2;-3;4).

200.Умножьте вектор с (5; -2; 3) на 2; о» ~ 4 ' ^*

201.Найдите координаты вектора 2 -АВ + 3 -ВС, если А(2; 1; 4),
В(3;0;-1)иС(1;-2;0).

202.Найдите длины векторов 35 - Ъ и 25 + Зй, если 5 (2; 0; -3) и

203.Даны векторы 5 (2; л; 3) и b (3; 2; т). При каких тип эти
векторы коллинеарны?

204. ABCD —параллелограмм. Точка Р делит сторону ВС на два отрез­
ка в отношении 1: 4. АВ = а, BD — b. Выразите: 1) АС; 2) DB
через 5,6.

205. ABCD — трапеция. Основание AD в три раза больше основания
ВС. EF — средняя линия трапеции, AD=5. Выразите вектор:
1) ВС; 2) EF через вектор 5.

206.Точка О — центр правильного шестиугольника ABCDEF. Дока­
жите, что: 1) АВ-ВС=ОВ;2) AB-DC=AO.

С

207.Медианы BF и АЕ треугольника ABC пересекаются в точке О.
АВ = а, FC = b. Выразите: 1) B~F; 2) ВС; 3) СЕ через а и Ъ.

208.Пусть М и N — середины отрезков АВ и CD, лежащих на
скрещивающихся прямых, а О — середина отрезка MN.
Докажите, что OA+OB+OC+OD= б.

§26. РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ

Определение. Три вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

Если отложить векторы 5, b, с, изображенные на рисунке 59, а, от любой точки О, то все эти три вектора будут лежать в одной плоскости. Поэтому они компланарные.

Векторы /га, п, k, изображенные на рисунке 59, б, не компланар­ные, так как при отложении их от одной точки они не лежат в одной плоскости.

Три некомпланарных вектора г (1; 0; 0), j (0; 1; 0) и й(0; 0; 1) называют ортами (единичными координатными векторами). Всегда

если а (а_х; а₂; а₃), то каждый раз можно представить только в виде (рис. 60):

5 = а_х • i + а₂ • j + а₃ • h.

Такое представление вектора в виде суммы называют разложением данного вектора по ортам.

Вообще если даны три некомпланарных вектора О А, ОВ, ОС, то

любой вектор OD можно представить, притом единственным способом, в виде:

OD=x-OA+yOB + z

где х,у, z — некоторые действительные числа (рис.61).