Свойства перпендикулярных прямой и плоскости

Теорема 15. Если плоскость перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой.

Доказательство. Пусть а || о₂ и а 1 ос. Докажем, что а_г L а (рис. 36). Так как а 1 а, то в плоскости а найдутся пересекающиеся в точке А прямые бис, перпендикулярные а (по определению). Так как Ьис перпендикулярны к прямой а, то по теореме 13 они перпен­дикулярны и к прямой a_v параллельной а. Поэтому по теореме 14 а_: ± а. Теорема доказана.

Рис. 37

Теорема 16 (обратная теорема). Две прямые, перпендикулярные к одной плоскости, параллельны.

Доказательство. Пусть Докажем, что а \\ Ь (рис. 37). Допустим, что прямые а и Ъ не параллельны. Выберем на прямой Ъ точку D, не лежащую в плоскости а. Проведем через точку D прямую b_v параллельную прямой а. Так как a L а, то и fc_x ± а (по теореме 15). Если Вт С — точки пересечения прямых Ъ и Ъ_г с плоскостью а, то из предположения следует, что в треугольнике BDC два прямых угла. Этого не может быть. Значит, прямые а и 6 парал­лельны. Теорема доказана.

Задача 2. Через точку А данной плоскости а провести перпен­дикулярную ей прямую.

Рис. 38

Решение. В плоскости а через точку А проведем прямую а (рис. 38). Через точку А проведем плоскость Д перпендикулярную к прямой а (зада­ча 1). Пусть a n р = Ъ. В плоскости р через точку А проведем прямую с, перпендикулярную прямой Ь. Отсюда с L Ъ и с J. а. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости (теорема 14) cL a. Итак, с — искомая прямая. Методом от противного можно доказать и единственность этой прямой.

Вопросы и задания

1. Докажите (теорему), что если плоскость перпен­
дикулярна одной из двух параллельных прямых, то
она перпендикулярна и к другой.

2. Докажите (теорему), что две прямые, перпендику­
лярные одной и той же плоскости, параллельны.

3. На рисунке 39 изображен прямоугольный парал­
лелепипед. Используя рисунок, ответьте на вопросы:

 

1) К каким ребрам перпендикулярно основание ABCD?

2)Назовите пару ребер, перпендикулярных к грани ADDjA^.

4. В окружающей обстановке найдите примеры на свойства перпендикулярности прямой и плоскости.

Задачи

100. Сколько прямых, перпендикулярных к данной плоскости, можно
провести через данную точку? А отрезков?

101. а 1а. Как расположены относительно плоскости ос прямые, пер­
пендикулярные к прямой а?

102.Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через середину
его ребра перпендикулярно к этому ребру. Найдите площадь
сечения, если ребро куба равно 3 см.

103.Плоскость а перпендикулярна к катету МК прямоугольного тре­
угольника MNK и делит его в отношении |MMJ: \M_tK\ = 3:2.
В каком отношении плоскость а делит гипотенузу MN?

В

104.Расстояния от точки Р до всех вершин квадрата равны, точка О —
центр квадрата. Докажите, что прямая РО перпендикулярна к
плоскости квадрата.

105.Постройте сечение правильного тетраэдра плоскостью, перпен­
дикулярной к ребру и проходящей через середину этого ребра.
Найдите площадь сечения, если ребро тетраэдра равно 8 см.

106.Прямые АА₁ и BB_V перпендикулярные к плоскости а, пересекают
ее в точках А_х и B_lt а прямая АВ — в точке С. Найдите расстояние
AjBj, если [AAJ = 12 см, \BB_t\ = 4 см, \В£\ = 2 см.

107.Треугольник ABC — равносторонний, а отрезок АО перпенди­
кулярен к его плоскости. Найдите периметр и площадь треуголь­
ника ОВС, если: 1) \АВ\ = 6 см, \АО\ = 8 см; 2) \АВ\ = \АО\ = о.

108. Прямые АА₁ и BB_V перпендикулярные к плоскости а, пересека­ют ее в точках А₁ и B_v а прямая АВ — в точке С. Найдите рас­стояние Bfi, если \АА_Х\ = 12 см, IAjSJ = \ВВ_г\ = 3 см.