Расстояние от точки до плоскости

Дана плоскость и точка (см. рис).

Опустим из точки на плоскость перпендикуляр . Тогда - это расстояние от точки до плоскости. Вектор нормали плоскости коллинеарен вектору , следовательно, . Пусть точка имеет координаты . Тогда

.

Так как точка принадлежит плоскости, то и

Отсюда получаем формулу расстояния от точки до плоскости

. (4.1)

Пусть даны две плоскости:

Рассмотрим возможные случаи расположения плоскостей.

1. - это условие параллельности плоскостей, если при этом еще и , то плоскости совпадают.

Если плоскости параллельны, то можно найти расстояние между ними, для этого нужно воспользоваться формулой (4.1): . Координаты точки находим из уравнения плоскости следующим образом: две координаты задаем произвольным образом, например,

, а третью координату находим из уравнения, следовательно, .

2. - это условие перпендикулярности плоскостей.

3.

Пример. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку , параллельной плоскости . Найти расстояние от точки до плоскости .

Решение. Так как искомая плоскость параллельна плоскости , то в качестве ее вектора нормали можно взять вектор нормали плоскости , то есть . Воспользуемся уравнением:

, или

.

Для нахождения расстояния от точки до плоскости воспользуемся формулой (4.1):

, .