Общее уравнение плоскости в пространстве

ЛЕКЦИИ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

«Линейная алгебра»

для направления 080100 «Экономика»

Рязань 2012

Темы 5, 6. Элементы аналитической геометрии

На плоскости и в пространстве

Общее уравнение плоскости в пространстве

Положение плоскости в пространстве относительно выбранной системы координат определяется ее расстоянием от начала координат () и единичным вектором, который перпендикулярен плоскости и направлен от начала координат к плоскости.

Возьмем на плоскости произвольную точку . При движении точки по плоскости ее радиус-вектор меняется, но он все время связан некоторым условием, а именно:

Так как , то

это нормальное уравнение плоскости в векторной форме.

Если воспользоваться тем, что , то получим нормальное уравнение плоскости в координатной форме:

Утверждение. Любое уравнение первой степени с тремя переменными определяет плоскость.

Доказательство. Рассмотрим уравнение 1-ой степени с тремя переменными

Пусть - проекции постоянного вектора на оси координат; - проекции радиус-вектора точки , тогда уравнение примет вид

Рассмотрим три случая: 1) пусть , разделим левую и правую части уравнения на ,

получим

обозначим , так как , то , получаем

2) пусть , разделим левую и правую части уравнения на , уравнение примет вид

обозначим >0, тогда вновь получим

3) пусть , в этом случае левую и правую части уравнения можно разделить на или на

, тогда уравнение примет вид

или

То есть линейное уравнение 1-ой степени с тремя переменными всегда может быть приведено к уравнению, являющемуся нормальным уравнением плоскости, значит оно определяет плоскость.

Линейное уравнение 1-ой с тремя переменными (2.32) называется общим уравнением плоскости. Из предыдущих рассуждений следует, что вектор , проекциями которого на оси координат являются коэффициенты при переменных общего уравнения плоскости, коллинеарен единич-

ному вектору , перпендикулярному плоскости, будет перпендикулярен плоскости.

Определение 2.21. Любой ненулевой вектор, перпендикулярный плоскости, называется вектором нормали плоскости.

Чтобы привести общее уравнение плоскости к нормальному, надо умножить его на нормирующий множитель

знак противоположен знаку коэффициента , если , то знак выбирается произвольно.

Следовательно, , тогда

Если , то берется верхний знак, если , то нижний знак.