Определение 3.9

С мешанным произведением векторов` а,` b,` с называется скалярное произведение вектора ´ на вектор ` с. Обозначается смешанное произведение . . или .

Таким образом, по определению, смешанное произведение трех векторов – это число, равное

. . = ( ´ , ` с).

Свойства смешанного произведения:

1) . . = . . = . . , т.е. при циклической перестановке множителей смешанное произведение не меняется;

2) . . = – . . = – . . = – . . , т.е. смешанное произведение меняет знак при перестановке соседних множителей;

3) . . = 0 ( ¹`0, ¹`0, ¹`0) тогда и только тогда, когда векторы ` a,` b,` c компланарны.

Если векторы ` a,` b,` c заданы своими координатами:
` a = (а_x, a_y, a_z), ` b = (b<sub>x</sub>, b<sub>y</sub>, b<sub>z</sub>), ` с = (с_x, с_y, с_z),

то, используя координатную форму скалярного и векторного произведений, получим

. . = ( ´ , ` с) = . (с_x, с_y, с_z) =

=

Следовательно, в координатной форме смешанное произведение имеет вид

. . = .

Рассмотрим геометрическую интерпретацию смешанного произведения. Построим на векторах ` а,` b,` с как на ребрах параллелепипед (рис.9).

Объем этого параллелепипеда равен V = S_осн.. Н. Но S_осн = | ´ |,а высота Н равна Н = . Тогда

V = = |( ´ , ` с)| = = | . . |.

Таким образом, если векторы` а, ` b, ` с некомпланарные, то объем V параллелепипеда, построенного на этих векторах, равен

V = |` a. ` b. ` c |,

то есть абсолютной величине смешанного произведения этих векторов.

Наряду со смешанным произведением трех векторов, можно рассмотреть и произведение вида ´( ´` с) – такое произведение называется двойным векторным произведением.

Двойное векторное произведение обладает свойством, которое связывает векторное произведение со скалярным произведением и произведением вектора на число:

´( ´` с) = ( . ) – ( . ) .