Двоичная арифметика

Преимущество двоичной системы счисления над десятичной с точки зрения ЦВМ состоит в следующем:

- требуются элементы с двумя устойчивыми состояниями;

- существенно упрощаются арифметические операции;

- оборудования требуется в 1,5 раза меньше;

- позволяет применить аппарат математической логики для анализа и синтеза схем.

Недостатки двоичной системы счисления состоят в следующем:

- большая длина записи чисел;

- при вводе и выводе информации требуется перевод в десятичную систему счисления.

Рассмотрим, как выполняются основные действия в двоичной арифметике.

Сложение Вычитание Умножение Деление

0 + 0 = 0 0 – 0 = 0 0 × 0 = 0 0: 1 = 0

0 + 1 = 1 1 – 0 = 1 0 × 1 = 0 1: 1 = 1

1 + 0 = 1 1 – 1 = 0 1 × 0 = 0

1 + 1 = 10 10 – 1 = 1 1 × 1 = 1

Правила арифметики во всех позиционных системах счисления одинаковы, т.е. сложение, умножение и вычитание начинают с младших разрядов, деление – со старших. При сложении единица переноса складывается с цифрами соседнего старшего разряда. При вычитании единица заема старшего разряда дает две единицы в младшем соседнем разряде.

Пример:

Сложить два двоичных числа: 110010010,01₂ и 11110000,1₂.

Решение:

Два числа нужно записать одно под другим так, чтобы совпадали разряды чисел, т.е. цифра в нулевом разряде первого числа складывается с цифрой в нулевом разряде второго числа и т.д. Для этого в конце второго числа дописываем ноль и начинаем сложение с самого младшего разряда, т.е. справа налево:

- разряд (-1): 1 + 0 = 1;

- разряд (-2): 0 + 1 = 1;

- разряд (0): 0 + 0 = 0;

- разряд (1): 1 + 1 = 10, следовательно, 0 пишем, а 1 запоминаем, т.е. единица переходит в следующий разряд;

- разряд (2): 0 + 1 = 1 и еще + 1 из предыдущего разряда = 10, также 0 пишем, 1 запоминаем;

- разряд (3): 1 + 1 = 10 и еще + 1 из предыдущего разряда = 11, т.е. 1 пишем и 1 запоминаем;

- разряд (4): 1 + 0 = 1 и еще + 1 из предыдущего разряда = 10, т.е. 0 пишем, 1 запоминаем;

- разряд (5): нет цифр, следовательно, записываем 1 из предыдущего разряда. Т

Таким образом, получаем следующее выражение:

Пример:

Даны два двоичных числа: 1100000₂ и 100110₂. Вычесть из первого двоичного числа второе.

Решение:

Записываем одно число под другим, учитывая разряды, и начинаем вычитание с младшего разряда, т.е. справа налево:

- разряд (0): 0 – 0 = 0;

- разряд (1): от 0 мы не можем отнять 1, поэтому занимаем у ближайшей единицы. Она находится в 4-м разряде. Следовательно, в 4-м разряде остается 0, в 1-м разряде будет 10, в разрядах 2 и 3 – единицы. Продолжаем вычисления: 10 – 1 = 1;

- разряд (2): в нем вместо 0 теперь стоит 1, следовательно: 1 – 1 = 0;

- разряд (3): в нем вместо 0 тоже стоит 1, следовательно, 1 – 0 = 1;

- разряд (4): в нем вместо 1 теперь остался 0, следовательно, чтобы от 0 отнять 1, нужно опять занять единицу у ближайшего разряда, ее имеющего. В данном случае, это следующий разряд (5-й). Занимаем, в 5-м разряде остается 0, а в 4-м будет 10. Продолжаем вычисления: 10 – 1 = 1.

- разряд (5): в нем остался 0.

Таким образом, получаем следующее выражение:

Умножение двоичных чисел аналогично умножению десятичных, но т.к. умножаем только на 0 и 1, то умножение сводится к операции сдвига и сложения. Положение точки, отделяющей целую часть от дробной части, определяется так же, как и при умножении десятичных чисел.

Пример:

Умножить двоичные числа 1100,1₂ × 10,1₂.

Решение:

Записываем числа одно под другим, равняя по правому краю, как в десятичной арифметике. Производим умножение и сложение, отделяем запятой два знака справа.