Системы счисления и формы представления чисел

Система счисления – это способ наименования и изображения чисел с помощью символов, имеющих определенные количественные значения. Символы, используемые для записи чисел, называются цифрами. Множество цифр образует алфавит системы счисления. Часто в алфавит входит и знак “,” (запятая).

Существуют системы позиционные и непозиционные.

В непозиционных системах счисления вес цифры не зависит от позиции, которую она занимает в числе. Так, например, в римской системе счисления в числе XXXII (тридцать два) вес цифры X в любой позиции равен просто десяти.

В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее позиции в последовательности цифр, изображающих число.

Любая позиционная система характеризуется своим основанием (Р).
Основание позиционной системы счисления – это количество различных знаков или символов, используемых для изображения цифр в данной системе.
За основание можно принять любое натуральное число – два, три, четыре, шестнадцать и т.д. Следовательно, возможно бесконечное множество позиционных систем.

В вычислительной технике применяют следующие позиционные системы счисления:

1) Десятичная система счисления. Р = 10.

2) Двоичная система счисления. Р = 2.

3) Восьмеричная система счисления. Р = 8.

4) Шестнадцатеричная система счисления. Р = 16.

Десятичная система счисления.

Пришла в Европу из Индии, где она появилась не позднее VI века н.э. В этой системе 10 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, но информацию несет не только цифра, но и место, на котором цифра стоит (то есть ее позиция). В десятичной системе счисления особую роль играют число 10 и его степени: 10, 100, 1000 и т.д. Самая правая цифра числа показывает число единиц, вторая справа – число десятков, следующая – число сотен и т.д.

Двоичная система счисления.

В этой системе всего две цифры – 0 и 1. Особую роль здесь играет число 2 и его степени: 2, 4, 8 и т.д. Самая правая цифра числа показывает число единиц, следующая цифра – число двоек, следующая – число четверок и т.д. Двоичная система счисления позволяет закодировать любое натуральное число, т. е. представить его в виде последовательности нулей и единиц. В двоичном виде можно представлять не только числа, но и любую другую информацию: тексты, картинки, фильмы и аудиозаписи. Инженеров двоичное кодирование привлекает тем, что легко реализуется технически.

Восьмеричная система счисления.

В этой системе счисления 8 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Цифра 1, указанная в самом младшем разряде, означает – как и в десятичном числе – просто единицу. Та же цифра 1 в следующем разряде означает 8, в следующем 64 и т.д. Число 100 (восьмеричное) есть не что иное, как 64 (десятичное). Чтобы перевести в двоичную систему, например, число 611 (восьмеричное), надо заменить каждую цифру эквивалентной ей двоичной триадой (тройкой цифр). Легко догадаться, что для перевода многозначного двоичного числа в восьмеричную систему нужно разбить его на триады справа налево и заменить каждую триаду соответствующей восьмеричной цифрой.

Шестнадцатеричная система счисления.

Запись числа в восьмеричной системе счисления достаточно компактна, но еще компактнее она получается в шестнадцатеричной системе. В качестве первых 10 из 16 шестнадцатеричных цифр взяты привычные цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, а вот в качестве остальных 6 цифр используют первые буквы латинского алфавита: A, B, C, D, E, F. Цифра 1, записанная в самом младшем разряде, означат просто единицу. Та же цифра 1 в следующем разряде – 16 (десятичное), в следующем – 256 (десятичное) и т.д. Цифра F, указанная в самом младшем разряде, означает 15 (десятичное). Перевод из шестнадцатеричной системы в двоичную и обратно производится аналогично тому, как это делается для восьмеричной системы.

Для обозначения используемой системы счисления числа заключают в скобки и индексом указывают основание системы:

(15)₁₀, (1011)₂, (735)₈,(1EA9F)₁₆.

Иногда скобки опускают и оставляют только индекс:

15₁₀,1011₂,735₈, 1EA9F₁₆

Есть еще один способ обозначения систем счисления – при помощи латинских букв добавляемых после числа.

В – двоичная (binary);

D – десятичная (decimal);

Q – восьмеричная (octal);

Н – шестнадцатеричная (hexdecimal).

Пример: 15D; 1011 В; 735Q; 1EA9FH.

Двоичная система счисления.

Основание Р = 2. Алфавит включает две двоичные цифры: 0, 1. Любое число C = C_n C_n-1 …C₁ C₀ C_-1 C_-m есть сумма степеней числа Р = 2,

C= C_n × 2ⁿ +C_n-1 × 2^n-1 +…+ C₁ × 2¹ + C₀ × 2⁰ +C_-1 × 2^-1 +…+ C_-m × 2^-m

Пример:

101011,11₂ = 1 × 2⁵ + 0 × 2⁴ + 1 × 2³ + 0 × 2² +1 × 2¹ + 1 × 2⁰ +1 × 2^-1 + 1 × 2^-2 = 32 + 8 + 2 + 1 + 0,5 + 0,25 = 43,75₁₀.

Веса разрядов в двоичной системе счисления равны 1, 4, 8, 16,... влево от запятой и 0,5; 0,25; 0,125; 0,625;... вправо от запятой.

Шестнадцатеричная и восьмеричная системы счисления используются при составлении программ на языке машинных кодов для более короткой и удобной записи двоичных кодов – команд, данных, адресов и операндов.

Таблица 1