Примеры решения задач. Пример 1. Физический маятник в виде однородного стержня длиной L = 1м колеблется относительно горизонтальной оси

Пример 1. Физический маятник в виде однородного стержня длиной L = 1м колеблется относительно горизонтальной оси, проходящей через один из концов стержня. Найти период колебаний.

Решение: Период колебаний физического маятника:

.

Поскольку стержень однородный, то расстояние от центра масс стержня до оси колебаний . Момент инерции определяем по теореме Штейнера:

.

Тогда период колебаний маятника:

.

Пример 2. Груз массы m = 0,5 кг подвешен на пружине жесткостью k = 32 Н/м совершает затухающие колебания. После N = 10 колебаний амплитуда уменьшилась в 2 раза. Определить период колебаний, логарифмический декремент затухания и добротность колебательной системы.

Решение: Период колебаний для затухающих колебаний:

,

где собственная частота колебаний .

Коэффициент затухания β находим из определения логарифмического декремента затухания θ = βТ:

.

Следовательно декремент затухания . Добротность колебательной системы . Период колебаний определяем, решая совместно уравнения: . Следовательно:

.

Пример 3. В цепь переменного тока с напряжением 220 В и частотой 50 Гц включены последовательно индуктивность L = 0,8 мГн и электроемкость

С = 10 мкФ. Общее сопротивление цепи R = 20 Ом. Найти силу тока в цепи, напряжение на всех элементах цепи и мощность, выделяющуюся в цепи.

Решение: Условия задачи соответствуют действию промышленного переменного тока с действующим (эффективным) напряжением = 220 В. Определим сопротивление элементов цепи. Емкостное сопротивление:

Ом.

Индуктивное сопротивление:

Ом.

Комплексное сопротивление всей цепи:

Ом.

Действующее значение силы тока в цепи определятся законом Ома:

А.

Падение напряжения на элементах цепи:

.

Заметим - сумма всех напряжений на элементах цепи значительно больше величины действующего напряжения, что возможно только в цепях переменного тока. Для определения мощности, выделяющейся в цепи, необходимо найти сдвиг фазы между колебаниями тока и напряжения , что соответствует углу сдвига фазы . И мощность, выделяющаяся в цепи:

Вт.

Пример 4. Определить частоту основного тона звуковой волны, образующейся при колебаниях воздуха в органной трубе длиной l = 1 м в двух случаях: а) труба закрыта с обоих концов; б) труба открыта с одного конца. Температура воздуха .

Решение: Частота колебаний столба воздуха в трубе определяется числом стоячих волн. Для закрытой трубы :

.

Для трубы, открытой с одного конца (m = 1,2,3,…):

.

Основной тон колебаний соответствует минимальной частоте, то есть в обоих случаях m = 1. Скорость звука согласно условию задачи:

.

Для закрытой трубы:

Гц.

Для трубы, открытой с одного конца:

Гц.

Пример 5. На расстоянии = 10 м интенсивность звуковой волны в воздухе, распространяющейся от точечного источника, = 40 дБ. Найти наибольшее расстояние, на котором звук еще слышен.

Решение: Поскольку источник звука точечный, то фронт звуковой волны сферический. Значит интенсивность волны убывает с расстоянием по закону:

,

Соответственно уровень интенсивности звуковой волны:

.

Следовательно искомое расстояние, в соответствии с условием задачи:

км.

Пример 6.Между двумя тонкими плоскопараллельными пластинками образован воздушный клин. На пластинки нормально падает монохроматический свет (λ = 0,5 мкм). Найти

угол между пластинками, если в отраженном свете на длине l = 1 см наблюдается

N = 20 интерференционных полос.

Решение: В данном случае интерференция наблюдается между лучами, отраженными от нижней поверхности первой пластинки и от верхней поверхности нижней пластинки. Оптическая разность хода в точке, где толщина воздушного зазора h равна:

.

Дополнительная разность возникает при отражении луча света от поверхности 2 (при отражении от более плотной среды происходит сдвиг фазы колебаний в отраженной волне на π). Для определенности предположим, что наблюдаются темные полосы. Тогда в соответствии с условием минимума интерференции:

.

Следовательно: .

Угол при вершине воздушного клина малый, тогда:

.

Подставляя числовые величины, получаем: .

Пример 7. Определить длину волны монохроматического света, падающего нормально на дифракционную решетку с периодом d = 2 мкм, если угол между максимумами первого и второго порядков спектра .

Решение: Для углов дифракции первого и второго порядков из формулы, определяющей положение максимумов дифракционной решетки следует:

.

Согласно условию: . Выражая из первых двух уравнений угол :

.

Проводя простые тригонометрические преобразования, получим:

.

Затем, используя первое уравнение, получаем:

мкм.

Пример 8. При нормальном падении света на дифракционную решетку ширины

l = 1 см установлено, что две желтые линии натрия мкм и

мкм оказываются разрешенными, начиная с пятого порядка спектра.

Определить период дифракционной решетки.

Решение: Разрешающая способность дифракционной решетки:

.

Из последнего равенства легко получить:

мм.

Пример 9. На пути частично поляризованного пучка света установлен поляризатор (николь). При повороте поляризатора на угол из положения, соответствующего максимальному пропусканию света, интенсивность прошедшего света уменьшилась в k = 4 раза. Определить степень поляризации падающего света.

Решение: Частично поляризованный свет представляет собой суперпозицию естественного и плоско-поляризованного света. Николь пропускает половину, падающего на него естественного света, превращая его в плоско-поляризованный. Степень пропускания плоско-поляризованного света, падающего на николь, определяется законом Малюса и зависит от угла между оптическими осями поляризатора и анализатора. Тогда полная интенсивность света, прошедшего через николь:

,

где - интенсивности естественной и поляризованной составляющих света, падающего на николь. Тогда максимальная и минимальная интенсивности света, входящие в определение степени поляризации P, могут быть определены так:

Согласно условиям задачи: или, выражая из предыдущих соотношений:

.

Из последнего уравнения определим отношение:

.

И, наконец, можно определить степень поляризации света: