Домашнее задание на лето по геометрии 8 класс

1. В параллелограмме KMNP диагональ МР перпендикулярна стороне КР, один из углов параллелограмма 120 ͦ. Основание см. Диагонали параллелограмма пересекаются в точке О. Найдите диагонали параллелограмма и его площадь.

2. В треугольнике АВС через точку пересечения медиан проведена прямая, параллельная ВС, пересекающая стороны АС и АВ в точках К и D соответственно. Найдите KD, если CB=15 см. Найдите отношение площадей треугольников АВС и ADK.

3. Вершины трапеции KMNP () лежат на окружности. Диагональ KN – биссектриса угла МКР. Один из углов трапеции 76˚ͦ. Найдите дуги, на которые вершины трапеции разделили окружность.

4. Две окружности, касающиеся внешним образом, имеют общие внешние касательные КМ и КР, угол между которыми 90 ͦ. Хорды, соединяющие эти точки касания, равны и соответственно. Найдите расстояние между центрами окружностей.

5. Меньший из отрезков, на которые центр описанной около равнобедренного треугольника окружности делит его высоту, равен 5 см, а основание треугольника равно 24 см. Найдите радиус окружности.

6. В параллелограмме ABCD (угол А – острый) проведена высота ВН к стороне AD. . Найдите углы и площадь параллелограмма, если периметр ABCD = 36см.

7. В треугольнике АВС медианы АА , ВВ пересекаются в точке О. В Δ АОВ – средняя линия КМ (К ОВ, М АО). Докажите, что КА В M – параллелограмм.

8. В равнобедренном треугольнике боковые стороны делятся точками касания вписанной окружности в отношении 7: 4, считая от вершины. Найдите основание треугольника, если его периметр 60 см.

9. АВ – диаметр, ВС – касательная к окружности с центром О. D – точка пересечения секущей АС и окружности. D – середина АС. Найдите CBD. Найдите ВС, если радиус окружности равен 4 см.

10. В треугольнике АВС (АВ = ВС) проведены высоты BN и АМ, причем BN пересекает АМ в точке К. а) Докажите, что треугольники АМС и BNC подобны. б) Найдите коэффициент подобия указанных треугольников, если .

11. В равнобедренном треугольнике АВМ высота ВС = 16 см, а боковая сторона относится к основанию АМ как 5: 6. Найдите периметр и площадь треугольника АВМ.

12. Найдите угол между диагоналями прямоугольника со сторонами 7 и см.

13. Угол при основании трапеции, вписанной в окружность, равен 42 ͦ. Найдите дуги, на которые вершины трапеции делят окружность, если одна из дуг между параллельными прямыми равна 25 ͦ.

14. В треугольнике АВС медианы АА , ВВ , СС пересекаются в точке О. Точки K, M, N являются серединами отрезков АО, ВО, СО соответственно. а) Докажите, что треугольники KMN и АВС подобны. б) Найдите периметр треугольника АВС, если периметр треугольника KMN – 44 см. Найдите отношение медиан треугольника АВС к медианам треугольника KMN.

15. Одна из двух пересекающихся хорд разделилась их точкой пересечения на отрезки 5 и 50 см, а другая в отношении 2:5. а) Найдите отрезки второй хорды. б) Найдите угол между хордами, если они высекают на окружности дуги, градусные меры которых относятся как 1:2:8:7.

16. В равностороннем треугольнике АВС со стороной а проведена высота BD. Из точки D опущен перпендикуляр DK на сторону ВС. Найдите DK.

17. Даны две окружности. Их общие внутренние касательные взаимно перпендикулярны, а хорды, соединяющие точки касания, равны 5 и 21 см. Найдите расстояние между центрами окружностей.

18. Хорда КМ стягивает дугу в 54˚. Определите угол, который образуют касательные к окружности, проведенные через концы хорды.

19. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб, если его диагонали равны 14 и 48 см.

20. В прямоугольной трапеции АВСМ меньшая боковая сторона АВ равна меньшему основанию АС. Диагональ, проведенная из вершины тупого угла, перпендикулярна большей боковой стороне. Найдите площадь трапеции, если ее меньшее основание равно 7 см.

21. Диагонали ромба КМРН равны 16 и 30 см и пересекаются в точке О. Найдите высоту ромба.

22. В равнобедренной трапеции АВСК диагональ АС делит угол при нижнем основании АК, равный 60˚, пополам. ВН – высота трапеции. Найдите площадь трапеции, если меньшее основание трапеции равно 6 см.

23. Хорды АВ и КМ окружности пересекаются в точке С. Угол АСМ равен 26˚, а дуга КВ составляет 30% дуги АМ. Найдите дуги КВ и АМ.

24. В треугольнике две стороны равны 5 и 12 см, а косинус угла между ними равен . Найдите: а) третью сторону; б) площадь треугольника, в) синус наибольшего угла треугольника; г) радиус окружности, описанной около треугольника; д) радиус вписанной в треугольник окружности.

25. В треугольнике АСЕ известны: АС = 6 см, АЕ = см, . Найдите: а) СЕ; б) .

26. Стороны треугольника 9, , . Найдите величину угла, противолежащего стороне, равной .

27. В параллелограмме стороны равны 8 и см, острый угол равен 30˚. Найдите диагонали и площадь параллелограмма.

28. В треугольнике АВС на медиане ВМ отмечена точка Е, так что . Прямая АЕ пересекает сторону ВС в точке К. В каком отношении точка К делит отрезок ВС, считая от точки В?

29. На стороне АС треугольника АВС взята точка Е так, что . В каком отношении медиана АМ делится отрезком ВЕ?

30. Биссектрисы MD и NK треугольника MNP пересекаются в точке О. Найдите отношение , если MN = 5 см, NP = 3 см, МР = 7 см.