Пространственный масштаб статистических флуктуаций

Рассмотрим, какой характерный пространственный масштаб имеют статистические флуктуации поверхностного потенциала в МДП‑структурах. Пусть на границе раздела полупроводник – диэлектрик находятся точечные заряженные центры с поверхностной плотностью N _ox. В силу случайного характера их расположения в плоскости границы раздела распределение зарядов задается уравнением Пуассона. Если мы разобьем плоскость границы раздела на произвольные площадки с размером L, то на одних площадках зарядов будет больше, на других – меньше. Это эквивалентно тому, что наряду с плоскостью, заряженной равномерно, имеется дополнительный набор положительно и отрицательно заряженных площадок. Ситуация будет чем-то напоминать шахматную доску с чередующимися белыми и черными полями. Необходимо рассмотреть, как будет вести себя потенциал такой знакопеременной системы зарядов.

Будем считать за плотность заряда σ на таких площадках избыточную, по сравнению со средней, плотность заряда, обусловленную случайным распределением заряженных центров на поверхности.

Величина σ будет равна:

. (3.149)

При пуассоновском распределении точечных зарядов на плоскости величина среднеквадратичного отклонения Δ N равна

, (3.150)

где N – среднее число зарядов на площадке S с размерами L,

– средняя плотность зарядов на единицу площади.

Рассмотрим, чему равен потенциал заряженной плоскости с линейным размером L. Элементарное интегрирование даст, что потенциал U, создаваемый заряженной плоскостью на расстоянии λ вглубь полупроводника на нормали, проходящей через ее центр, будет:

. (3.151)

Величина потенциала U ₀ на плоскости при λ = 0 будет:

. (3.152)

Как следует из уравнений (3.151) и (3.152), величина потенциала U ₀ на границе раздела полупроводник – диэлектрик пропорциональна U ₀ ~ σL. Тогда с учетом (3.149) и (3.150) имеем для статистических флуктуаций:

. (3.153)

Из соотношения (3.153) следует, что при пуассоновском распределении заряда в плоскости границы раздела полупроводник – диэлектрик величина флуктуации потенциала на поверхности U ₀ не зависит от масштаба флуктуаций L, а определяется только средней плотностью заряда .

Для выявления особенностей экранировки потенциала знакопеременной системы зарядов рассмотрим модельную задачу. Пусть на границе раздела полупроводник – диэлектрик распределен заряд с плотностью σ (x, y), изменяющейся по гармоническому закону:

. (3.154)

Для нахождения потенциала, создаваемого в полупроводнике такой системой зарядов, запишем уравнение Пуассона в виде:

, (3.155)

где ρ (x, y, z) – объемная плотность заряда.

Решение уравнения Пуассона приводит к следующему значению потенциала φ (x, y, z):

, (3.156)

где L – линейный масштаб одной ячейки,

λ – расстояние от границы раздела вглубь полупроводника до точки, где рассчитывается потенциал.

Вследствие экранировки заряда, находящегося на границе раздела полупроводник – диэлектрик металлическим затвором МДП‑структуры, за счет сил зеркального отражения в затворе возникает потенциал U _отр, описываемый в полупроводнике соотношением:

.

Суммарный потенциал в полупроводнике с учетом экранировки, как показано на рисунке 3.32, будет равен:

. (3.157)

На рисунке 3.32 приведена зависимость потенциала U (x, y, z) от расстояния λ вглубь полупроводника, рассчитанная по уравнению (3.157).

Рис. 3.32. Зависимость потенциала U / U ₀ знакопеременной системы зарядов типа «шахматная доска» от расстояния λ вглубь полупроводника с учетом экранировки затвором МДП‑структуры

На рисунке 3.33 приведен закон спада потенциала вглубь полупроводника в зависимости от масштаба L. Как следует из этого рисунка, мелкомасштабные флуктуации на больших расстояниях экранируются эффективнее, чем крупномасштабные.

Рис. 3.33. Потенциал U / U ₀ системы зарядов типа «шахматная доска» в зависимости от расстояния λ вглубь полупроводника:

d _ox = 50Å, 1 – L = 100Å, 2 – L = 1000Å, 3 – L = 10000Å,

d _ox = 1000Å, 4 – L = 100Å, 5 – L = 1000Å, 6 – L = 10000Å

На рисунке 3.34 показан характер экранировки потенциала в зависимости от масштаба L при разных толщинах подзатворного диэлектрика d _ox и различных расстояниях λ.

Рис. 3.34. Зависимость потенциала U / U ₀ системы зарядов типа «шахматная доска» от размера L при различных толщинах окисла d _ox и расстояниях λ вглубь полупроводника

Видно, что зависимость потенциала U от масштаба L имеет выраженный максимум. Исследование соотношения (3.157) на экстремум показывает, что оптимальная величина масштаба L _опт, соответствующая максимальному значению потенциала (U / U ₀)_max, будет равна:

. (3.158)

На рисунке 3.35 приведена зависимость масштаба L _опт, рассчитанная по соотношению (3.158) от толщины диэлектрика при разных расстояниях вглубь полупроводника.

При больших значениях толщины диэлектрика оптимальный масштаб имеет размеры порядка толщины диэлектрика L _опт ~ d _ox, при малых толщинах диэлектрика величина оптимального масштаба существенно больше толщины диэлектрика L _опт >> d _ox.

Рис. 3.35. Зависимость оптимального масштаба L _опт, соответствующему максимальному значению относительного потенциала U / U ₀, от толщины подзатворного диэлектрика d _ox

3.7.9. Сравнительный анализ зависимости среднеквадратичной флуктуации σ _ψ и потенциала оптимальной флуктуации

Представляет определенный интерес сравнение спада потенциала U (λ), рассчитанного по соотношению (3.157) для флуктуаций различного масштаба L, со спадом величины среднеквадратичной флуктуации σ _ψ(λ). Воспользуемся тем фактом, что для различных масштабов L величина потенциала на поверхности U ₀ будет одинакова, как было показано в уравнении (3.123). Будем также учитывать для каждого значения расстояния λ только оптимальные флуктуации, дающие максимальное значение потенциала, то есть флуктуации размером L = L _опт, рассчитанным по (3.158). Величину U ₀ выберем для всех случаев такую, чтобы для одной из толщин диэлектрика значения σ _ψ и потенциала U совпали бы при больших значениях λ → ∞.

При других значениях толщины диэлектрика такое совпадение наблюдалось автоматически.

На рисунке 3.36 приведен график потенциала оптимальной флуктуации, рассчитанный подобным образом. Из графика видно, что при больших λ наблюдается совпадение характера зависимости среднеквадратичной флуктуации σ _ψ и потенциала оптимальной флуктуации U от расстояния λ вглубь полупроводника.

Расхождение наблюдается при малых значениях λ, причем с уменьшением толщины диэлектрика d _ox область значения λ, где наблюдается это расхождение, также уменьшается. При значениях λ → 0, то есть при приближении к границе раздела полупроводник – диэлектрик, величина среднеквадратичной флуктуации σ _ψ логарифмически расходится, в то время как потенциал оптимальной флуктуации имеет конечное значение, равное U ₀.

Зависимость величины потенциала флуктуации U от масштаба L приведена ранее на рисунке 3.34. При пуассоновском характере распределения точечных зарядов очевидно, что должна наблюдаться минимальная величина масштаба флуктуации, определяемая средним расстоянием между заряженными точечными центрами.

. (3.159)

Для = 10¹⁰см^-2 величина L _min будет порядка 1000Å,

для = 10¹²см^-2 величина L _min будет порядка 100Å.

Рис. 3.36. Зависимость потенциала оптимальной флуктуации U ₀ и величины среднеквадратичной флуктуации σ _U от расстояния λ вглубь полупроводника для системы случайно распределенных точечных зарядов на границе раздела окисел – полупроводник

Таким образом, дискретность зарядов на границе раздела полупроводник – диэлектрик является физической причиной ограничения минимального масштаба флуктуации. Физическое ограничение максимального масштаба флуктуаций определяется размерами исследуемой МДП‑структуры: L _max ≈ L _обр.

Таким образом, на границе раздела окисел – полупроводник возможны все масштабы флуктуаций заряда от L _min до L _max. Но в силу экранировки затвором во флуктуации потенциала дают максимальный вклад такие масштабы, которые удовлетворяют соотношению (3.158). В данном случае МДП‑структура выступает чем-то в виде RC‑фильтра, который из набора сигналов всех гармоник выделяет преимущественно одну частоту.

При переходе от области слабой к области сильной инверсии начинает играть свою роль экранирование свободными носителями. В некотором смысле это эквивалентно установке и приближению к границе второго затвора со стороны полупроводниковой подложки. Учтем этот факт экранировки следующим образом. Введем расстояние d _nn из условия равенства емкостей области пространственного заряда C _sc и емкости конденсатора с диэлектрической проницаемостью ε _s и расстоянием между обкладками d _nn. Получаем:

. (3.160)

Величина d _nn для области сильной инверсии будет эквивалентна среднему расстоянию свободных носителей в области пространственного заряда до границы раздела полупроводник – диэлектрик. С ростом избытка свободных носителей в инверсионном канале Γ _p,n величина d _nn будет уменьшаться и, как следует из рисунка 3.36, будет происходить экранировка флуктуаций сначала больших масштабов. При этом будет уменьшаться и абсолютная величина флуктуаций потенциала, как видно из рисунка 3.36, и потенциальный рельеф будет становиться все мелкомасштабнее.

Максимальная длина свободного пробега дырок в инверсионных каналах кремниевых МДП-структур, рассчитанная из значения подвижности в максимуме зависимости μ (Γ _p) при температурах T = (77÷350)°К, составляет величину не более λ = (200÷300) Å.

Величина линейного масштаба оптимальной флуктуации, как видно из рисунка 3.35, во всех случаях обычно больше длины свободного пробега, в том числе и в МДП‑структурах со сверхтонким подзатворным диэлектриком. Этот факт позволяет рассматривать процесс переноса свободных носителей заряда в сложном потенциальном рельефе в инверсионных каналах МДП‑структур как процесс «протекания» в случайном потенциальном поле, а не как процесс рассеяния.