Ток термоэлектронной эмиссии

Рассчитаем ток эмиссии электронов с поверхности полупроводника в условиях термодинамического равновесия. Все свободные электроны в полупроводнике находятся в потенциальной яме. Функция распределения этих электронов по степеням свободы описывается больцмановской статистикой:

.

Из этого выражения следует, что если энергия электрона E существенно больше, чем энергия Ферми F, то всегда будет определенное число электронов с этой энергией. Следовательно, существует отличная от нуля вероятность f, что в условиях термодинамического равновесия часть электронов в полупроводнике будет обладать энергией E > 0, то есть они могут покидать поверхность полупроводника. Ток, обусловленный этими электронами, называется током термоэлектронной эмиссии. Таким образом, ток термоэлектронной эмиссии – это ток, обусловленный горячими равновесными электронами вследствие распределения энергии по степеням свободы [6, 5].

Рассчитаем величину этого тока исходя из первых принципов квантовой статистики. Выберем элемент объема dτ в фазовом пространстве квазиимпульсов p _x, p _y, p _z. Согласно принципу Паули, минимальный объем, который может занимать одна частица в фазовом пространстве координат и квазиимпульсов: . В случае единичного координатного объема это условие трансформируется: . Тогда число состояний dz для электронов в единице объема и фазовом пространстве объемом в соответствии с принципом Паули равно:

. (2.1)

Чтобы узнать число электронов dn, нужно число состояний dz умножить на вероятность их заполнения f (E, T):

. (2.2)

Функция распределения электронов по состояниям для электронов и дырок – в общем случае функция Ферми – Дирака. Однако поскольку рассматриваются электроны с большой энергией, способные покинуть поверхность полупроводника (E – F >> kT), то функция распределения с высокой степенью вероятности будет больцмановской:

. (2.3)

Поток электронов, то есть количество электронов, за единицу времени ушедших с поверхности полупроводника в вакуум из фазового объема dt, равно их числу в элементе объема с площадью S = 1 и длиной l = υ _x:

. (2.4)

Плотность тока J за счет этого будет равна:

. (2.5)

Для того, чтобы сосчитать плотность тока в соотношении (2.5), проведем некоторое преобразование. Выразим полную энергию электрона Е (потенциальную и кинетическую) через его скорость υ:

. (2.6)

Тогда для плотности тока J получаем:

. (2.7)

В соотношении (2.7) первый и второй интегралы выражаются через интеграл Пуассона , следовательно,

. (2.8)

Последний интеграл в уравнении (2.7) непосредственно считается. Получаем:

. (2.9)

Подставляя (2.8) и (2.9) в (2.7), получим выражение для тока термоэлектронной эмиссии:

. (2.10)

Формула (2.10) называется формулой Ричардсона для тока термоэлектронной эмиссии из полупроводника в вакуум. ; А – постоянная Ричардсона.

Численное значение постоянной Ричардсона составляет [11, 8].

Поскольку энергия Ферми отрицательна F < 0, то расстояние до уровня Ферми F, отсчитанное от уровня вакуума Е = 0, будет положительным. Обозначим его Ф и назовем термодинамической работой выхода:

. (2.11)

Таким образом, термодинамическая работа выхода – это энергия Ферми с обратным знаком.

С учетом сказанного выражение для тока термоэлектронной эмиссии:

. (2.12)

Таким образом, из соотношения (2.12) следует, что ток термоэлектронной эмиссии j _t с поверхности полупроводника определяется только термодинамической работой выхода Ф и температурой Т.

Для того, чтобы экспериментально регистрировать ток термоэлектронной эмиссии j _t, необходимо обеспечить уход эмитированных электронов от поверхности для того, чтобы вблизи поверхности полупроводника не накапливался объемный заряд.

Оценим значение тока термоэлектронной эмиссии. Выберем характерные величины параметров, учитывая, что ток экспоненциально сильно зависит от температуры Т:

Ф = 2,5 эВ, Т ₁ = 300 К, Т ₂ = 1500 К, kT ₁ = 0,025 эВ, kT ₂ = 0,125 эВ.

Значения тока, рассчитанные по соотношению (2.15), будут следующими:

j _t1 = 10^-36 А/см², j _t2 = 0,8 А/см².

Видно, что изменение температуры в 5 раз вызвало экспоненциально сильно зависящее от температуры Т изменение тока термоэлектронной эмиссии на 36 порядков.

2.2. Термодинамическая работа выхода в полупроводниках p‑ и n ‑типов

Рассмотрим зонную диаграмму полупроводников p‑ и n‑ типов.

На рисунке 2.1 использованы следующие обозначения: χ – электронное сродство, E _g – ширина запрещенной зоны, φ _0n – объемное положение уровня Ферми в полупроводнике n‑ типа, φ _0p – объемное положение уровня Ферми в полупроводнике p ‑типа.

Рис. 2.1. Зонная диаграмма полупроводников:

а) n ‑типа; б) p ‑типа

Согласно определению термодинамической работы выхода , получаем следующее выражение для термодинамической работы выхода в полупроводниках n ‑типа Ф _n и p ‑типа Ф _p:

, (2.13)

. (2.14)

(При рассмотрении предполагается, что уровень Ферми в собственном полупроводнике находится посредине запрещенной зоны, или m _p^* = m _n^*. В противном случае в соотношениях (2.13), (2.14) появится слагаемое со знаком минус для полупроводников n ‑типа и со знаком плюс для полупроводников p ‑типа.)

Из соотношения (2.13) и (2.14) следует, что термодинамическая работа выхода из полупроводника p ‑типа всегда будет больше, чем из полупроводника n ‑типа, а следовательно, ток термоэлектронной эмиссии с полупроводника n ‑типа будет больше, чем с полупроводника p‑ типа.