Поворот и параллельный перенос параболы

Парабола – одна из самых распространённых линий в математике, и строить её придётся действительно часто. Поэтому, пожалуйста, особенно внимательно отнестись к заключительному параграфу урока, где я разберу типовые варианты расположения данной кривой.

! Примечание: как и в случаях с предыдущими кривыми, корректнее говорить о повороте и параллельном переносе координатных осей, но автор ограничится упрощённым вариантом изложения, чтобы у читателя сложились элементарные представления о данных преобразованиях.

1) Поворот вокруг вершины. Если в уравнении присутствует знак «минус»: , то это означает разворот параболы на 180 градусов относительно своего канонического положени я. А если в уравнении переменные «поменялись местами»: , то это означает поворот канонической параболы на 90 градусов против часовой стрелки.

На следующем чертеже изображены графики кривых :

Оба уравнения задают неканоническое расположение нашей подопытной параболы , причём во втором случае легко получить функциональную запись, к которой мы привыкли в курсе математического анализа: .

Таким образом, все параболы, с которыми мы обычно работаем – не каноничны! Я очень хотел «уложить на бок» классическую параболу и разобрать каноническое уравнение , но, к сожалению, у неё достаточно малый фокальный параметр , и чертеж с точкой фокуса , директрисой был бы крайне невразумителен.

2) Параллельный перенос. Без всякой оригинальности. Уравнение задаёт ту же параболу с вершиной в точке . По моим наблюдениям, во многих задачах матана очень популярен частный случай – когда каноническая парабола сдвигается влево или вправо по оси абсцисс. Ну, и как дополнительная опция, разворачивается, если при переменной «икс» есть знак «минус».

Соответствующее творческое задание для самостоятельного решения:

Пример 7

Построить параболу . Привести уравнение линии к каноническому виду, найти фокус и уравнение директрисы.

Как лучше действовать?

По условию требуется построить параболу . Именно такую – в неканоническом виде! Поэтому в первой части задачи следует представить уравнение в виде , что позволит сразу определить вершину. Затем по образцу Примера 6 нужно провести поточечное построение линии, работая с уравнениями .

Вторая часть задания предполагает приведение уравнения к каноническому виду. Проанализируйте равенство – есть ли поворот, есть ли параллельный перенос? После того, как выясните каноническую запись , необходимо найти фокус параболы и уравнение её директрисы. Обратите внимание, что в контексте условия это, вероятнее всего, нужно сделать в каноническом положении!

Ну, а наша обзорная экскурсия подошла к концу, и я надеюсь, что у вас не возникло и не возникнет трудностей с тремя атлантами темы – эллипсом, гиперболой и параболой. Предлагаю узнать новый теоретический материал и закрепить практические навыки на уроке Задачи с линиями 2-го порядка.

Желаю успехов!

Решения и чертежи:

Пример 5: Решение: данная гипербола является равносторонней, поэтому имеет асимптоты . Действительная полуось , значит, вершины расположены в точках . Найдём дополнительные точки:

Определим координаты фокусов:

Выполним чертёж:

Перед вами «школьная» гипербола в каноническом положении. График функции получается путём поворота (вокруг начала координат) построенного графика на 45 градусов против часовой стрелки (а если строже – путём поворота системы координат на противоположно ориентированный угол в «минус» 45 градусов).

И в общем случае – график обратной пропорциональности представляет собой равностороннюю гиперболу, уравнение которой можно привести к каноническому виду .

Пример 7: Решение: преобразуем уравнение:

Вершина параболы находится в точке , ветви направлены влево. С помощью уравнений найдём дополнительные точки:

Выполним чертёж:

Парабола получена путём поворота параболы на 180 градусов и её параллельного переноса в точку . Из канонического уравнения находим фокальный параметр , фокус и уравнение директрисы .
Примечание: в случае необходимости нетрудно найти координаты фокуса и уравнение директрисы неканонически расположенной параболы . Учитывая поворот и параллельный перенос: .

Автор: Емелин Александр

Высшая математика для заочников и не только >>>

(Переход на главную страницу)

Как можно отблагодарить автора?

Задачи с линиями 2-го порядка.
Как найти геометрическое место точек?

Данный практикум представляет собой логическое продолжение лекции о линиях второго порядка и её популярных представителях – эллипсе, гиперболе и параболе. Сегодня мы закрепим пройденный материал многочисленными задачами, и, кроме того, дополним теоретический багаж знаниями, которые я намеренно скрыл на первых занятиях, чтобы не перегружать «чайников» новой информацией. Признаюсь честно, ненавижу вымучивать первые абзацы своих статей (особенно, когда готов чёткий план урока), поэтому разольём кофе по чашкам, сядем в круг и перейдём к обсуждению вопросов по существу.

В самостоятельных и контрольных работах наиболее часто встречаются следующие задания:

– Найти геометрическое место точек (или составить уравнение множества точек), каждая из которых удовлетворяет определённым аналитическим условиям. Безусловно, данная формулировка является общей и не факт, что в итоге должна получиться обязательно линия, и обязательно второго порядка. Однако в контексте рассматриваемой темы эти магические слова практически всегда вызывают к жизни уравнение эллипса, окружности, гиперболы либо параболы.

– Привести уравнение линии 2-го порядка к каноническому виду. Понятие канонического вида уравнения, а также некоторые элементы этой задачи многим читателям уже знакомы, и в ближайшем будущем вам представится отличная возможность продвинуться дальше.

Нередко оба блюда подаются за один раз, то есть сначала требуется составить уравнение линии, а затем привести его к каноническому виду + в качестве десерта найти вершины, фокусы, эксцентриситет, директрисы, выполнить чертёж и т.д. Как гостеприимный хозяин заведения постараюсь всех накормить досыта, да так – чтобы некоторые не только с трудом вышли из-за стола, но и остались здесь на ночёвку =) Начислим для аппетита:

Задача 1

Составить уравнение линии, расстояние каждой точки которой от точки в два раза больше, чем от точки . Выполнить чертёж. Привести полученное уравнение к каноническому виду.

Решение данной задачи всегда начинается стандартно – в рассмотрение вводится некоторая точка с переменными координатами, которая принадлежит искомой линии.

Таким образом, наша аналитическая формулировка конкретизируется следующим образом: «составить уравнение линии, расстояние каждой точки которой от точки в два раза больше, чем от точки ». Немного приостановимся и ответим на ключевой вопрос: о чём здесь идёт речь? Очевидно, что задач можно придумать бесконечно много, поэтому, в первую очередь необходимо правильно понять условие.

А речь здесь идёт о расстоянии от точки «а» до точки «эм» и о расстоянии от точки «бэ» до той же точки «эм». Формула длины отрезка нам хорошо знакома ещё с первого урока по аналитической геометрии. Напоминаю: расстояние между двумя точками рассчитывается по формуле .

Запишем длины соответствующих отрезков:

для точек расстояние ;
для точек расстояние .

Теперь нужно составить уравнение. Согласно условию, расстояние в два раза больше расстояния , следовательно, справедливо равенство:

Или:

Уравнение успешно составлено, но какую линию оно задаёт – совершенно не понятно. Поэтому дальнейшие действия состоят в упрощении полученной конструкции, и сейчас мы ознакомимся с типовым техническим алгоритмом.

Во-первых, избавимся от корней. Для этого возведём в квадрат обе части:

активно пользуясь формулами сокращенного умножения, раскроем все скобки:

перенесём всё в левую часть и приведём подобные слагаемые:

разделим каждое слагаемое на –3:

Получено уравнение линии 2-го порядка в общем виде. Уже лучше, однако, и оно как неведома зверушка. По этой причине вторая часть преобразований состоит в попытке приведения уравнения к каноническому виду. Перед нами не самый тяжёлый случай, который уже фигурировал в конце статьи о линиях второго порядка. Искусственным приёмом выделяем полные квадраты:

и завершающим штрихом рождаем квадрат в правой части:
– уравнение окружности с центром в точке радиуса . Возьмём в руки остроногого друга:

Не лишней будет кустарная, но эффективная геометрическая проверка. По условию для любой точки построенной линии расстояние должно быть в 2 раза больше расстояния . Мысленно выбираем наиболее удобную точку нашей окружности и убеждаемся в справедливости данного соотношения. В целях контроля можно взять ещё какую-нибудь точку и измерить длины отрезков обычной линейкой.

Заключительная часть задания состоит в приведении уравнения линии к каноническому виду. Центр канонической окружности должен располагаться в начале координат, и, как я неоднократно оговаривался, есть два способа разрулить ситуацию.

Первый, более простой метод:

1) Приведём уравнение окружности к каноническому виду путём её параллельного переноса центром в начало координат:

Второй, более солидный и правильный метод:

2) Осуществим параллельный перенос прямоугольной системы координат началом в точку :

Иными словами, мы перешли к новой системе координат ТАК, чтобы уравнение нашей окружности записалось в ней каноническим образом: .

На первый взгляд кажется нелепым менять систему координат из-за одной-единственной линии, но на самом деле этот подход более корректен, и об одной простой причине его корректности я расскажу на уроке Приведение уравнения линии 2-го порядка к каноническому виду.

Ответ: искомая линия представляет собой окружность с центром в точке радиуса . Каноническое уравнение: (либо в зависимости от способа приведения).

Аналогичный пример для самостоятельного решения:

Задача 2

Составить уравнение множества точек, для каждой из которых сумма квадратов расстояний от точек равна 20. Определить тип линии, выполнить чертёж и привести уравнение к каноническому виду. Указать координаты фокусов, записать уравнение асимптот, если они есть. Вычислить эксцентриситет кривой.

Краткое оформление и чертёж в конце урока.

Систематизируем порядок решения данной задачи:

На первом шаге необходимо рассмотреть точку с неизвестными координатами, которая принадлежит искомому множеству точек, и разобраться в условии задачи. Как правило, в нём говорится о расстояниях от точки «эм» до других точек и/или других линий, а также о соотношениях этих длин.

На втором шаге следует найти длины нужных отрезков и в соответствии с аналитическим условием задачи составить уравнение.

На третьем шаге осуществляем упрощение полученного уравнения. Сначала приводим его к общему виду, а затем к форме, которая близА к канонической. В некоторых задачах сразу получается каноническое уравнение.

На четвёртом шаге – чертёж.

На пятом – приведение к каноническому виду.

На шестом – фокусы, асимптоты, эксцентриситет. Напоминаю, что находить их гораздо удобнее именно из канонической записи.

На практике чаще всего заданий меньше, так, в некоторых случаях не надо приводить уравнение к каноническому виду, а в самой компактной версии не требуется и чертёжа – достаточно лишь упростить уравнение и назвать линию. Я специально «нагружаю» условия задач, чтобы образцы решений годились «на все случаи жизни». Но, тем не менее, надрываться тоже не будем, и разогреемся парой новых коктейлей:

Задача 3

Составить уравнение множества точек, для каждой из которых квадрат расстояния до точки на 16 больше квадрата расстояния до оси ординат.

Решение: Пусть точка принадлежит искомому множеству. Тогда:

Примечание: строго говоря, в соответствии с формулировкой условия нужно рассмотреть (та же самая длина), но в этой и других задачах мы пренебрежём данной логической неточностью.

Чему равно расстояние от точки до оси ординат? Можно воспользоваться стандартной формулой расстояния от точки до прямой, но если немного подключить воображение, то легко понять, что расстояние от любой точки до оси равно модулю её «иксовой» координаты:

По условию на 16 больше, чем , следовательно, справедливо следующее равенство:

(либо )

Таким образом:

Раскручиваем гайки:

«Икс квадрат» сокращается, и, очевидно, уравнение нужно максимально приблизить к каноническому виду :

– парабола с вершиной в точке , фокальным параметром .

Ответ: искомое множество точек представляет собой параболу

Если дополнительно требуется привести уравнение линии к каноническому виду, то в данном примере это осуществляется элементарно:

1) Приведём уравнение параболы к каноническому виду путём её параллельного переноса центром в начало координат:

2) Перейдём к новой прямоугольной системе координат с центром в точке , тогда уравнение параболы примет вид: .

Чертёж приводить не буду, поскольку параболу мы уже вертели, как хотели.

Задача 4

Составить уравнение множества точек, для каждой из которых расстояние до точки равно расстоянию до оси абсцисс. Выполнить чертёж. Привести уравнение к каноническому виду.

В образце решения последний пункт реализован обоими способами.

Разобранные задачи с окружностями (особенно часто), параболами встречаются и в школьной программе. Ну а на нашей тусовке 18+ становится всё жарче – снимайте джемперы и пиджаки:

Задача 5

Найти уравнение геометрического места точек, для каждой из которых отношение расстояния до точки к расстоянию до прямой постоянно и равно . Сделать чертеж. Привести уравнение линии к каноническому виду, найти фокусы, эксцентриситет, асимптоты и директрисы (если они существуют).

Решение: пусть точка принадлежит искомому множеству точек. В задаче говорится о расстоянии:
,

а также о расстоянии от точки до прямой, которое вычисляется по формуле , где – соответствующие коэффициенты общего уравнения прямой «дэ», – координаты точки «эм».

В данном случае:
.

По условию для каждой точки отношение расстояния к расстоянию должно быть равно . А что такое отношение? Отношение – это пропорция, или попросту дробь:

Уравнение составлено, но его вид оставляет желать лучшего. Сначала избавимся от трёхэтажной дроби. Для этого знаменатель левой части (дробь) перекинем направо:

Сократим на :

Чтобы окончательно избавиться от дробей, «поднимем тройку» на левый берег:

Дальнейшие упрощения приобретают знакомые очертания. Возводим обе части в квадрат и раскрываем скобки:

Перенесём всё налево и причешем слагаемые:

Читатели с хорошим и высоким уровнем подготовки, разумеется, могут немного видоизменять вычисления и сокращать запись, выполняя некоторые действия в уме.

Разделим обе части на 36:

Организуем трёхэтажные дроби:

И выполним деление:

Почему целесообразен именно такой алгоритм, подробно закомментировано в Примере №4 статьи о гиперболе и параболе.

В результате:
– эллипс с центром в начале координат, полуосями .

Обратите внимание, что такая формулировка однозначно определяет эллипс и добавлять что-либо излишне.

Изобразим на чертеже найденный эллипс, точку и прямую :

Геометрическая проверка тут затруднена, но с другой стороны и не сверхъестественна. Возьмём какую-нибудь точку эллипса, проще всего рассмотреть .
Для неё: .
По условию отношение должно равняться .
Проверяем: , что и требовалось проверить.

На практике можно выбрать любую точку эллипса, измерить расстояния линейкой, разделить на с помощью калькулятора и удостовериться, что получилось примерно .

В данной задаче уравнение линии нарисовалось сразу в каноническом виде, что облегчает решение. Осталось разобраться с фокусами, эксцентриситетом, асимптотами и директрисами.

Очевидно, что у эллипса отсутствуют асимптоты.

Вычислим и запишем фокусы эллипса:

.

Первый фокус совпал с точкой .

Найдём эксцентриситет: . По ещё одному странному совпадению эксцентриситет оказался равен отношению .

…однако, совпадения ли это?