Найпростіші властивості кілець

I.Всі власт. адитивних абелевих груп:

1) однозначність Ө(нульовий елемент);

2) Для будь-якого а є К, (-а) тільки один;

3) для будь-яких а,b є К існує і єдина а-b=а+(-b);

4) -(-а)=а;

5) Можна робити скорочення при додаванні на будь-який елемент;

6) а+х=а х=Ө;

7) а+х=Ө х=-а;

8) а=b а-b=Ө;

9) можна розглядати цілі кратні довільного елемента.

II.Спеціальні властивості:

1. Для будь-якого а є К: аӨ=Өа=Ө.

_▲Для будь-якого b є К аb+аӨ=а(b+Ө)=аb аӨ=Ө, аналогічно Өа=Ө_▲

2. (-а)b=-(аb); а(-b)= -(аb);(-а)(-b)=аb.

_▲аb+ +(-а)b=(а+(-а))b=Өb=(за 1)властивістю)=Ө.Аналогічно

(-а)b+аb=Ө (-а)b= =-(аb)_▲

3. Дистрибутивність для різниці. Для будь-яких а,b,с є К:(а-b)с=ас-bс і а(b-с)=аb-ас.

_▲(а-b)с=(а+ (- b))с=ас+(- b)с=(за 2))=ас-bс_▲

Підкільцем кільця К назив.таке кільце L,що виконуються умови:

1) L включається в К;

2)додавання на Lє додавання на К звужене на множину L;

3)множення на L є множення на К звужене на множину L;

4)Ө_L=Ө_К,в цьому випадку К називається над кільце або кільцеве розширення кільця.

Прикл.Z<Q.