Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Собственные векторы и собственные значенияРассмотрим -мерные векторы и , координаты которых связаны зависимостью (21.1) где - любые скаляры. Тогда говорят, что вектору ставится в соответствие вектор по закону (21.1). Или: есть образ . Так как в формулах (21.1) координаты выражены через координаты линейно и однородно, то это линейное преобразование вектора в вектор с матрицей преобразования где . В матричной форме это преобразование принимает вид (21.2) где . Определение 21.1: Закон вида (21.1), задающий линейное преобразование любого вектора -мерного арифметического пространства в некоторый вектор этого же пространства называется линейным преобразованием. Пример 21.1. Пусть задана матрица линейного преобразования , где Возьмем произвольный вектор и найдем образ Если , то вектор . Следовательно, вектор изменит и длину и направление. Если , то вектор , а это значит, что изменит только длину. Рассмотрим преобразование с заданной матрицей . Будем искать такой вектор , который в результате линейного преобразования меняет длину, но не меняет направление исходного вектора, т.е. или, в матричной форме, . (21.3) Тогда, подставив (21.3) в (21.2), имеем матричное уравнение (21.4) Определение 20.2: ненулевой вектор называется собственным вектором матрицы , если выполнено равенство (21.4) , где - некоторое число. При этом называется собственным значением матицы . Для нахождения собственного вектора решим уравнение (21.4).
, т.к. , где - единичная матрица, играющая роль единицы в матричном исчислении. Тогда . (21.5) Получили однородную систему линейных уравнений относительно неизвестных координат собственного вектора с квадратной матрицей . Матрица имеет вид матрицы , у которой из элементов главной диагонали вычли число Необходимым и достаточным условием существования ненулевого решения такой системы является равенство нулю определителя матрицы этой системы, то есть . (21.6) Если вычислить определитель этой матрицы, то он будет зависеть от и представлять собой многочлен степени . Его называют характеристическим многочленом, а равенство (21.6) – характеристическим уравнением. Решая уравнение (21.6), находят собственные значения . Для матрицы второго порядка характеристическое уравнение имеет вид , то есть вид квадратного уравнения относительно неизвестного собственного значения . Пример 21.1. Зададимся матрицей преобразования и найдем собственный вектор , удовлетворяющий условию . Для этого решим однородную систему (21.5): (21.7) Эта система имеет ненулевое решение, если ее определитель равен нулю, т.е. . Вычислим характеристический многочлен и для нахождения собственных значений приравняем его к нулю.
Найдем собственный вектор при . Подставим собственное значение в (21.7). Система примет вид: . Пусть . Тогда собственный вектор имеет вид . При система (21.7) имеет матричный вид , а, следовательно, можно записать, что Решение получается в базисной форме и, полагая , найдем собственный вектор Рекомендуемая литература 1. Клиот - Дашинский М.И. Алгебра матриц и векторов. СПб.: Издательство «Лань», 1998. 2. Клиот-Дашинский М.И. Линейная алгебра. Методические указания к выполнению самостоятельной работы для студентов I курса. Л.: ЛИСИ, 1988. 3. Боревич З.И. Определители и матрицы. М.: «Наука», 1988. 4. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. Ростов-на-Дону: «Феникс», 1997. Содержание 1. Определители второго порядка…………………………………………………….…..……3 2. Определители третьего порядка………………………………………………………………3 3.Элементарные сведения о перестановках……………………………………………………...5 4.Определители n-го порядка…………………………………………………...……………6 5. Основные свойства определителей……………………………………………………………7 6. Миноры и алгебраические дополнения элементов определителя………………………...8 7. Разложение определителей по элементам его рядов……………………………….……9 8. Общие сведения о матрицах. Основные определения…………………..……………..12 9. Разновидности матриц……………………………………………………………………..13 10. Арифметические операции над матрицами……………………………..…..…………15 11. Свойства перемножения матриц…………………………………………...…………...16 12. Обратная матрица и ее вычисление с помощью союзной матрицы……….……….18 13. Cистемы линейных уравнений………………………………………………………….....…20 14. Матричная запись системы уравнений………………………………………...……..……...21 15. Системы с неособенной квадратной матрицей. Формулы Крамера………………….........22 16. Системы уравнений в базисной форме…………………..…………………….………24 17. Метод Гаусса………………………………………………………………………………….26 18. Нахождение решения в базисной форме……………………………………….…..…..32 19. Вычисление обратной матрицы по схеме Гаусса………………………….…………….….33 20. Понятие об -мерном арифметическом пространстве и -мерном векторе…………………………………………………………………………………………...…35 21. Линейное преобразование векторов. Собственные векторы и собственные значения…………………………………………………………………………………………….37 Лидия Евсеевна Морозова Ольга Валентиновна Соловьева
|