Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Определители n-го порядкаОчевидно, что для системы из n линейных уравнений с n неизвестными получим матрицу коэффициентов размером : Введем понятие определителя n -го порядка. Определение 4.1: Определителем n -го порядка называется число равное -сумме n! слагаемых; -каждое слагаемое есть произведение n элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца; -каждое слагаемое берется со знаком «+», если перестановка из вторых индексов четная, и со знаком «-», если перестановка из вторых индексов нечетная, при условии, что первые индексы образуют натуральный ряд чисел. Т.о. Здесь å берется по всем возможным перестановкам , составленным из чисел 1,2,…, n.
5. Основные свойства определителей. Установим основные свойства определителей, которые для простоты будем показывать на определителе 2-го порядка. 1. При замене строк соответствующими столбцами (именуемой транспонированием) определитель остается неизменным. Действительно:
Следовательно, , что и требовалось доказать. Примечание: Полученный выше результат дает нам право утверждать, что строки и столбцы определителя, именуемые в дальнейшем рядами, равноправны. 2. При перестановке двух рядов определитель меняет знак на противоположный. Действительно, Поменяем местами строки и вычислим определитель , что и требовалось доказать. 3. Если в определителе два параллельных ряда одинаковы, то он равен нулю. Действительно, поменяем местами две одинаковых строки. Тогда величина определителя не изменится, а знак в силу свойства 2. поменяется. Единственное число, которое не меняется при изменении знака – ноль. 4. Общий множитель членов любого ряда можно вынести за знак определителя. что и требовалось доказать. 5. Если все элементы любого ряда являются суммами одинакового числа слагаемых, то определитель равен сумме определителей, в которых элементами рассматриваемого ряда служат отдельные слагаемые. что и требовалось доказать. 6. Определитель не изменится, если к элементам любого ряда прибавить соответствующие элементы параллельного ряда, умноженные на некоторое число. Умножим вторую строку на и прибавим ее к первой строке: Действительно, в силу свойств 3,4,5 = что и требовалось доказать.
6. Миноры и алгебраические дополнения элементов определителя. Рассмотрим определитель n -го порядка: . Выделим в определителе i -ю строку и j -й столбец. На пересечении этих рядов стоит элемент
Если в определителе мы вычеркнем i -ю строку и j -й столбец, то получим определитель порядка п -1 (т. е. имеющий порядок, на единицу меньший по сравнению с исходным определителем), называемый минором элемента определителя . Будем обозначать минор элемента символом . Определение 6.1. А лгебраическим дополнением элемента определителя называется минор , взятый со знаком , и обозначается символом . Согласно определению получим . Пример 6.1. Найти минор и алгебраическое дополнение определителя
|