Аксиома параллельных прямых

Аксиомами называются те основные положения геометрии, которые принимаются в качестве исходных положений, на основе которых доказываются далее теоремы и строится вся геометрия.

Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Следствиями называются утверждения которые выводятся непосредственно из аксиом или теорем

Следствие 1. Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.

Дано:

а || b,

Доказать:

Доказательство:

Если бы прямая с не пересекала прямую b, то через точку М проходили бы две прямые, параллельные прямой b. Но это противоречит аксиоме параллельных прямых, и, значит, прямая с пересекает прямую b.

Следствие 2. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Дано:

а || с, b || с

Доказать:

а || b

Доказательство:

Допустим, что прямые a и b не параллельны, т.е. пересекаются в некоторой точке М. Тогда через точку М проходят две прямые параллельные прямой с.

Но это противоречит аксиоме параллельных прямых. Поэтому наше предложение неверно, а значит, прямые а и b параллельны.