Теорема 9 (Ван-Обеля). Если отрезки АА1, ВВ1, СС1, где А1, В1, С1 – точки на сторонах ВС, АС, АВ треугольника АВС, – чевианы с общей точкой Q, то

= + .

Доказательство. Проведем прямую l через точку А параллельно ВС. Пусть В ₂ и С ₂ точки пересечения прямой l с прямыми ВQ и СQ (рис. 98).

Поскольку D В ₂ QС ₂ D ВQС, то = .

Из подобия D QАС ₂ и D QА ₁ С следует = . Поэтому = , или = , или = + .

Поскольку D АС ₁ С ₂ D ВС ₁ С и D АВ ₁ В ₂ D СВ ₁ В, то = и = . Тогда = + .

Следствие 11. Если Q – центр тяжести треугольника АВС и А ₁ – середина стороны ВС, то АQ: QА ₁ = 2.

Действительно, по теореме Ван-Обеля = + = + = 2.

Следствие 12. Если Q – центр вписанного в треугольник АВС круга и А ₁ – основание биссектрисы угла А, то АQ: QА ₁ = , а = ВС, b = АС, с = АВ.

Действительно. С учетом теоремы о биссектрисе угла по теореме Ван-Обеля будем иметь = + = + = .

Следствие 13. Если Q – точка пересечения Жеогона и А ₁ – точка аксания вписанного круга со стороной ВС, то = .

Учтя теорему 11.3, по теореме Ван-Обеля имеем = + =

= + = (р – а) = (р – а) = .

Следствие 14. Если Q – точка Нагеля и А ₁ – точка касания вневписанного круга со стороной ВС, то АQ: QА ₁ = а: (р – а).

Сучетом следствия 1 по теореме Ван-Обеля:

= + = + + = = .

Теорема 10 (Жаргона). Если Q – точка пересечения чевиан АА ₁, ВВ ₁, СС ₁ треугольника АВС, то + + = 1 и + + = 2.

Доказательство. Поскольку D ВВ ₂ В ₁ D QQ ₂ В ₁ (Ð ВВ ₂ В ₁ = Ð QQ ₂ В ₁ = 90°, Ð В ₁ – общий), то

= = .

Аналогично получим, = , = .

Тогда + + = + + = = 1. Первое из необходимых равенств доказано.

Поскольку QА = АА ₁ – QА ₁, то = 1 – .

Аналогично, = 1 – , = 1 – .

Поэтому + + = (1 – ) + (1 – ) + (1 – ) =

= 3 – ( + + ) = 3 – 1 = 2.

Теорема 11 (Карно). Сумма R + r радиусов окружностей, описанной около треугольника и вписанной в него, равна d ₁ + d ₂ ± d ₃, d ₁ Ù d ₂ Ù d ₃, где d ₁, d ₂, d ₃ – расстояния от центра описанной окружности до сторон треугольника, при этом знак минус для тупоугольного треугольника.

Доказательство. Пусть О – центр описанной около треугольника АВС окружности, М, N, Р – основания перепндикуляров, опущенных из точки О на стороны ВС, АС, АВ соответственно, т.е. МО, NО, РО – серединные перпендикуляры к сторонам треугольника АВС.

Пусть треугольник АВС – остроугольный (рис. 100). Тогда рr = S_ABC = S_AOB + S_BOC + S_AOC = АВ ОР + ВС ОМ +

+ АС ОN = с d ₃ + a d ₁ + b d ₂.

Поскольку четырёхугольник АРОN имеет два противоположных прямых угла, то его можно вписать в окружность. Применив к нему теорему Птолемея, получим

АО РN = ОР АN + ОN АР, или R = d ₃ + d ₂ .

Аналогично, R = d ₁ + d ₂ , R = d ₁ + d ₃ .

Сложив три последних равенства, получим

R р = d ₁ + d ₂ + d ₃ .

Поэтому Rр + rp = (d ₁ + d ₂ + d ₃ ) + d ₁ a + d ₂ b + d ₃ c =

= d ₁ + d ₂ + d ₃ = (d ₁ + d ₂ + d ₃) p.

Значит, R + r = d ₁ + d ₂ + d ₃.

Пусть теперь треугольник АВС – тупоугольный (рис. 101). Тогда

рr = S_ABC = S_СOB + S_АOC – S_AOВ = а d ₁ + b d ₂ – c d ₃. Поскольку четырёхугольники ОРМВ, ОМСN, ОРNА – вписанные, то по теореме Птолемея: d ₁ = d ₃ + R ,

R = d ₁ + d ₂ , d ₂ = d ₃ + R .

Из этих равенств получим

R + R + R = ( d ₁ – d ₃) + (d ₁ + d ₂ ) + ( d ₂ – d ₃ ).

Значит, rp + Rр = ( а d ₁ + b d ₂ – c d ₃) + (d ₁ + d ₂ – d ₃ ) =

= d ₁ + d ₂ – d ₃ = (d ₁ + d ₂ – d ₃) p.

Задача 4. Многоугольник, который может быть вписан в круг, разделен непересекающимися диагоналями на треугольники. Доказать, что сумма диаметров кругов, вписанных в эти треугольники, не зависит от того, как проведены диагонали

Доказательство. Пусть O – центр круга, описанного около данного многоугольника, А ₁ А ₂… А_n. Тогда в этот круг будут вписаны все треугольники, возникающие при проведении диагоналей.

Для каждого треугольника можно применить теорему Карно

R + r_к = d _{1 к} + d _{2 к} ± d _{3 к} .

Правила для выбора знака “+” или ”–“ можно интерпретировать так: знак “+” перед величиной перпендикуляра d _{3 к} ставится тогда, когда треугольник и центр круга О лежат по одну сторону от прямой, к которой проводится перепендикуляр, и ”–“ – если лежат по разные стороны.

Учитывая, что каждая диагональ разделяет два смежных треугольника, расстояние до этой смежной стороны для одного треугольника будет входить в сумму со знаком “+”, а для дркгого со знаком ”–“. При сложении равенств для R + r_к, записанных для всех треугольников, расстояния до диагоналей взаимно сокращаются и в сумме останутся только расстояния d_i от центра О до сторон многоугольника. Поэтому

= , откуда = .

Последнее равенство показывает, что сумма радиусов, а значит и диаметров, вписанных в треугольники кругов, не зависит от того, как проведены диагонали.