Главная Случайная страница


Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать неотразимый комплимент Как противостоять манипуляциям мужчин? Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?

Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника







Теорема 9 (Ван-Обеля). Если отрезки АА1, ВВ1, СС1, где А1, В1, С1 – точки на сторонах ВС, АС, АВ треугольника АВС, – чевианы с общей точкой Q, то





= + .

Доказательство. Проведем прямую l через точку А параллельно ВС. Пусть В2 и С2 точки пересечения прямой l с прямыми ВQ и СQ (рис. 98).

Поскольку D В22 D ВQС, то = .

Из подобия D QАС2 и D 1С следует = . Поэтому = , или = , или = + .

Поскольку D АС1С2 D ВС1С и D АВ1В2 D СВ1В, то = и = . Тогда = + .

 

Следствие 11. Если Q – центр тяжести треугольника АВС и А1 – середина стороны ВС, то АQ : 1 = 2.

Действительно, по теореме Ван-Обеля = + = + = 2.

 

Следствие 12. Если Q – центр вписанного в треугольник АВС круга и А1 – основание биссектрисы угла А, то АQ : 1 = , а = ВС, b = АС, с = АВ.

Действительно. С учетом теоремы о биссектрисе угла по теореме Ван-Обеля будем иметь = + = + = .

 

Следствие 13. Если Q – точка пересечения Жеогона и А1 – точка аксания вписанного круга со стороной ВС, то = .

Учтя теорему 11.3, по теореме Ван-Обеля имеем = + =

= + = (р – а) = (р – а) = .

 

Следствие 14. Если Q – точка Нагеля и А1 – точка касания вневписанного круга со стороной ВС, то АQ : 1 = а : (р – а).

Сучетом следствия 1 по теореме Ван-Обеля:

= + = + + = = .

 

Теорема 10 (Жаргона). Если Q – точка пересечения чевиан АА1, ВВ1, СС1 треугольника АВС, то + + = 1 и + + = 2.

Доказательство.Поскольку D ВВ2В1 D QQ2В1ВВ2В1 = Ð QQ2В1 = 90°, Ð В1 – общий), то

= = .

Аналогично получим, = , = .

Тогда + + = + + = = 1. Первое из необходимых равенств доказано.

Поскольку = АА11, то = 1 – .

Аналогично, = 1 – , = 1 – .

Поэтому + + = (1 – ) + (1 – ) + (1 – ) =

= 3 – ( + + ) = 3 – 1 = 2.

 

Теорема 11 (Карно). Сумма R + r радиусов окружностей, описанной около треугольника и вписанной в него, равна d1 + d2 ± d3, d1 Ù d2 Ù d3, где d1, d2, d3 – расстояния от центра описанной окружности до сторон треугольника, при этом знак минус для тупоугольного треугольника.

Доказательство.Пусть О – центр описанной около треугольника АВС окружности, М, N, Р – основания перепндикуляров, опущенных из точки О на стороны ВС, АС, АВ соответственно, т.е. МО, NО, РО – серединные перпендикуляры к сторонам треугольника АВС.

Пусть треугольник АВС – остроугольный (рис. 100). Тогда рr = SABC = SAOB + SBOC + SAOC = АВ ОР + ВС ОМ +

+ АС ОN = с d3 + a d1 + b d2.

Поскольку четырёхугольник АРОN имеет два противоположных прямых угла, то его можно вписать в окружность. Применив к нему теорему Птолемея, получим

АО РN = ОР АN + ОN АР, или R = d3 + d2 .

Аналогично, R = d1 + d2 , R = d1 + d3 .

Сложив три последних равенства, получим

R р = d1 + d2 + d3 .

Поэтому + rp = (d1 + d2 + d3 ) + d1 a + d2 b + d3 c =

= d1 + d2 + d3 = (d1 + d2 + d3) p.

Значит, R + r = d1 + d2 + d3.

Пусть теперь треугольник АВС – тупоугольный (рис. 101). Тогда

рr = SABC = SСOB + SАOCSAOВ = а d1 + b d2 c d3. Поскольку четырёхугольники ОРМВ, ОМСN, ОРNА – вписанные, то по теореме Птолемея: d1 = d3 + R ,

R = d1 + d2 , d2 = d3 + R .

Из этих равенств получим

R + R + R = ( d1 d3) + (d1 + d2 ) + ( d2d3 ).

Значит, rp + = ( а d1 + b d2 c d3) + (d1 + d2 d3 ) =

= d1 + d2 d3 = (d1 + d2d3) p.

 

Задача 4. Многоугольник, который может быть вписан в круг, разделен непересекающимися диагоналями на треугольники. Доказать, что сумма диаметров кругов, вписанных в эти треугольники, не зависит от того, как проведены диагонали

Доказательство. Пусть O – центр круга, описанного около данного многоугольника, А1А2Аn. Тогда в этот круг будут вписаны все треугольники, возникающие при проведении диагоналей.

Для каждого треугольника можно применить теорему Карно

R + rк = d1к + d2к ± d3к.

Правила для выбора знака “+” или ”–“ можно интерпретировать так: знак “+” перед величиной перпендикуляра d3к ставится тогда, когда треугольник и центр круга О лежат по одну сторону от прямой, к которой проводится перепендикуляр, и ”–“ – если лежат по разные стороны.

Учитывая, что каждая диагональ разделяет два смежных треугольника, расстояние до этой смежной стороны для одного треугольника будет входить в сумму со знаком “+”, а для дркгого со знаком ”–“. При сложении равенств для R + rк, записанных для всех треугольников, расстояния до диагоналей взаимно сокращаются и в сумме останутся только расстояния di от центра О до сторон многоугольника. Поэтому

= , откуда = .

Последнее равенство показывает, что сумма радиусов, а значит и диаметров, вписанных в треугольники кругов, не зависит от того, как проведены диагонали.

 








Date: 2015-05-05; view: 1107; Нарушение авторских прав

mydocx.ru - 2015-2017 year. (0.018 sec.) - Пожаловаться на публикацию