Иерархия числовых классов в ГАС

ГАС представляет собой систему актуально существующих встроенных один - в другой и порождающих друг друга числовых классов.

При формировании структуры числовых классов той или иной версии ГАС равноправными считаются два подхода: статический и динамический.

Статический подход предполагает завершенность (актуальность) системы числовых классов, то есть существование некоторого конвенциально определяемого Суперкласса, объемлющего все прочие числовые классы и не подлежащего расширению в рамках данной версии ГАС. В статической версии ГАС числа и множества, имеющие вес, превышающий конвенционально допустимый для Суперкласса, рассматриваются как неопределенные (внесистемные) и не могут конституироваться как предметы или результаты арифметических операций в ГАС.

Статический подход имеет то преимущество, что доводит "до логического конца" принцип актуальной бесконечности, устанавливая условный Абсолют, моделирующий Абсолют реальный (умопостигаемый Универсум), без существенных потерь в размерности (общем весе) системы.

Динамический подход предполагает незавершенность (потенциальность) иерархии числовых классов, то есть возможность неограниченного "восхождения" к Абсолюту путем порождения все новых, более широких числовых классов на базе первого актуально бесконечного числового класса.

Следует особо отметить, что потенциальный характер расширяемой последовательности числовых классов в динамической версии ГАС в рассматриваемом контексте не противоречит тезису о счетности и об актуальности всех элементов и подсистем ГАС, а также ГАС в целом.

Дело в том, что в данном случае потенциальность процесса расширения ГАС обусловлена общей ограниченностью, конечностью гносеологических возможностей науки, объективной невозможностью актуального познания Абсолюта (который, возможно, и сам не статичен, не завершен в классическом смысле этого слова), а не непоследовательностью в формировании теоретической модели.

И в динамическом подходе к формированию ГАС сохраняется главный принцип: в каждый конкретный момент времени все элементы ГАС (как ранее существующие, так и вновь созданные) актуальны (конечны или бесконечны).

В динамической версии ГАС числа и множества, имеющие вес, превышающий вес последнего класса, сформированного к данному моменту, рассматриваются как определенные (легитимные) только при условии реализации операции порождения (генерации) нового, более широкого актуального числового класса, включающего их в качестве элементов или подмножеств, и не могут конституироваться как предметы или результаты арифметических операций в ГАС до этого события.

Динамический подход позволяет непротиворечиво развивать ГАС как систему мышления, направленную на "исчерпание", последовательное отображение количественных отношений Абсолюта.

В этом смысле Динамическая ГАС представляет собой расширяемую систему Статических ГАС, всесторонне удовлетворяющих требованию единственности абстракции счетной актуальной бесконечности в качестве системообразующего принципа новой арифметики.

Если говорить о качественной структуре ГАС, то последняя делится на две составные части: "класс материальных чисел" и "класс ментальных чисел". Такое деление связано с тем, что окружающий нас материальный мир вполне конечен по своей размерности. В частности, количество атомов в нашей галактике выражается весьма скромными с точки зрения бесконечности числами.

Поэтому, "заложив" некоторый минимальный актуально бесконечный базис в основу первого числового класса, мы обеспечиваем (удовлетворяем) полный объем потребностей в счете и в арифметических действиях на материальном уровне.

При этом, говоря о «минимальности» актуально бесконечного базиса первого числового класса, мы имеем в виду его минимальность лишь по отношению к базисам объемлющих классов. Это не означает, что максимальное число первого числового класса - первое актуально бесконечное число, как в канторовской теории множеств. Напротив, уже в рамках первого числового класса существует актуально бесконечное множество различных по весу бесконечных чисел. В частности, корни любых конечных степеней из максимального числа первого числового класса - актуально бесконечные числа. То есть в ГАС, в отличие от канторовской теории трансфинитных чисел, нет явно выраженной паралогичной границы между конечными и бесконечными числами. Это - одно из наиболее фундаментальных отличий ГАС от канторовской теории множеств. Другими словами, максимальное число первого числового класса - лишь первая единица измерения актуальной бесконечности, но никак не первое актуально бесконечное число.

Другое дело - «ментальная реальность», в которой какие-либо ограничения на количество и характеристики объектов отсутствуют. Вполне правомерно выделить числовые классы, описывающие свойства этой реальности в класс «ментальных чисел», то есть чисел, описывающих не воспринимаемые органами чувств, осознаваемые только на ментальном уровне объекты.