ГАС первого экзистенциального уровня

1. Существуют универсальные для всех числовых классов ГАС числа "0" (нуль, универсальный нейтральный элемент) и "1" (единица, универсальный положительный элемент, такой, что для всякого числа b из ГАС 1*b = b).

2. Существуют предельные для данного числового класса положительные числа: "а" (минимальное число класса), не следующее ни за каким числом данного класса, и "А" (максимальное число класса), не предшествующее никакому числу данного класса.

3. Каждое число данного числового класса (за исключением чисел "а" и "А", имеющих только по одному из рассматриваемых свойств) имеет одно предшествующее ему и одно следующее за ним числа.

4. Число "1" (универсальная единица ГАС), связано с предельными числами "а" и "А" следующими соотношениями:

4.1. а*А=1; а=1/А; А=1/а; 4.2. а+а+....+а = 1 1+1+...+1 = А;

________ _______

А раз А раз

4.3. а+а+...+а = А.

________

А ² раз

Соотношения 4.1. - 4.3. означают, что вес (мощность) множества единиц, входящих в «А» (и «а», входящих в 1) не ограничен аддитивно, но ограничен мультипликативно; это позволяет непротиворечиво сочетать требование бесконечности (неограниченности) класса с требованием его завершенности (наличия первого и последнего элементов).

Аналогичными отношениями, совпадающими с определениями операций в классической арифметике конечных чисел, число 1 связано и с прочими (не предельными) числами числового класса.

5. Число "0" (нуль), будучи универсальным нейтральным (ни положительным, ни отрицательным) элементом ГАС, не является элементом какого-либо отдельного числового класса и связано со всеми числами произвольного числового класса следующими соотношениями:

5.1. 0*d = d*0 = 0;

5.2. из bd = 0 следует, что или b = 0 или d = 0 (если числа b, d не являются делителями нуля);

5.3. деление на 0 невозможно;

5.4. с + 0 = 0 + с = с, где b, c, d - элементы числового класса, включая предельные.

6. Аксиома супердедукции.

6.1. Если утверждение доказано для некоторого числа с и из его справедливости для числа с/b следует справедливость для числа с/bd (с, b, d - числа одного числового класса), то утверждение справедливо для любого неотрицательного числа числового класса, включая числа «а» и «А».

6.2. Если утверждение доказано для некоторого числа с и из его справедливости для числа с*b следует справедливость для числа с*b*d (с, b, d - числа одного числового класса), то утверждение справедливо для любого неотрицательного числа числового класса, включая числа «а» и «А».

7. Аксиома супериндукции.

7.1. Если утверждение доказано для "0" и из его справедливости для следующего за "0" неотрицательного числа "а" данного класса, следует справедливость для непосредственно следующего за ним числа "2а", то утверждение справедливо для любого неотрицательного числа числового класса, включая число "А".

7.2. Если утверждение доказано для "А" и из его справедливости для предшествующего числу "А" неотрицательного числа "А-а" данного класса, следует справедливость для непосредственно предшествующего ему числа "А-2а", то утверждение справедливо для любого неотрицательного числа числового класса.

Соотношения в пп. 1-7 приведены здесь для положительных чисел числового класса; для отрицательных и комплексных чисел числового класса мы их выписывать здесь и ниже не будем из-за их очевидности.

В целом структура произвольного числового класса в ГАС (с учетом подкласса отрицательных чисел) будет выглядеть следующим образом:

-А... -1...-a 0 a... 1...A.