Математика и устройство мира – предметы в пространстве

Математика является одной из многочисленных отраслей знания, изучающих свойства нашего мира, однако она обладает рядом особенностей, ставящих её в исключительное положение среди прочих наук.

Прежде всего, методом математики являются логические построения и доказательства. Это обстоятельство даёт основание некоторым мыслителям объявлять математику чисто умозрительной наукой, не имеющей глубоких связей с реальным миром. В то же время многие математики и философы уверены, что математические объекты в той или иной форме существует реально. Так крупный французский математик девятнадцатого века Шарль Эрмит сказал: «Я верю, что числа и функции анализа не являются произвольным созданием нашего разума; я думаю, что они существуют вне нас в силу той же необходимости, как и объекты реального мира, и мы их ворочаем или открываем и изучаем точно так же, как это делают физики, химики или зоологи».

Один из крупнейших математиков двадцатого века Андрей Николаевич Колмогоров считал, что математика занимается численными отношениями и пространственными формами внешнего мира. Дадим развёрнутое истолкование этого утверждения.

С определённой точки зрения наш мир можно представить себе как пространство, наполненное разнородными предметами. Если рассматривать предмет сам по себе, то тот способ, которым он заполняет часть пространства, определяет форму предмета. Если же рассматривать совокупности предметов, то неизбежно возникают понятия количества и числа.

Восприятие пространства и формы основано на ощущении непрерывности, тогда как восприятие количества и числа связано с ощущением множественности и дискретности, то есть разбиения целого на отдельные части.

Для жизнедеятельности человека необходимы оба вида восприятия окружающего мира. Изучение пространства и достаточно простых форм приводит к возникновению геометрии. Результатом изучения количеств и чисел становятся арифметика и алгебра. Практическая важность арифметических, алгебраических и геометрических знаний доказывается историей древних государств, развивавших математику достаточно близкими путями.

Наиболее сложным является вопрос о причинах, которые заставляют связать изучение количеств и форм в единую науку – математику. Прежде всего, тела любой формы характеризуются количеством составляющего их вещества и протяжённостью в пространстве. Нужды хозяйствования делают необходимым установление этих характеристик с помощью измерений, которые можно рассматривать как процессы дробления непрерывных качеств предмета на единичные (эталонные) элементы. В результате мы приходим к установлению связей между количеством и формой. Эта взаимосвязь проявляется на самых ранних стадиях возникновения математического знания, что подтверждается повсеместным распространением процедуры измерения отрезков, процессом, имеющим не только большое практическое значение, но и глубокий теоретический смысл. Именно он изначально связывает геометрическую протяжённость с числами.

2.

Натуральные числа предназначены для пересчёта предметов. Процедуре счёта должно предшествовать предварительное размышление. Дело в том, что имеет смысл пересчитывать только те предметы, которые в чём-то сходны между собой. Нужная степень сходства как раз и устанавливается в процессе размышления. Тем самым перед началом счёта необходимо определиться с множеством пересчитываемых элементов. Множество – это совокупность элементов, объединённых некоторым общим свойством (у нас речь идёт только о конечных множествах). Это свойство и необходимо указать.

Как только множество определено, его элементы становятся неразличимыми и как бы теряют прочие свойства. Единственной характеристикой множества становится количество его элементов – число. Элементы множества можно рассматривать как составляющий соответствующее число набор единиц.

Множества можно менять, добавляя к ним элементы (сложение) или удаляя из них элементы (вычитание). Операции сложения и вычитания натуральных чисел могут быть сведены к последовательному прибавлению или вычитанию единиц. При записи операций сложения и вычитания, а также других операций, вводимых на основе сложения и вычитания, числа обозначаются символами (обычно буквами), а операция над ними изображается либо значком, размещаемым между числами, либо взаимным расположением чисел.

Для любой пары натуральных чисел (n и m) определены операции сложения (n + m), умножения (n m, n·m, n m) и возведения в степень (n^m). При определённых условиях возможно вычитание (n – m, в случае, когда n > m) и деление (n: m, в случае, когда n = m·q). Если натуральное число большее единицы и делится только на единицу и на себя, оно называется простым. Все арифметические операции имеют наглядный физический смысл. Это отражено в смысле слов, которые используются для обозначения этих операций.

Сложение – совмещение в единую кучу (совокупность) предметов из двух куч, соответственно содержащих n и m предметов. Умножение – многократное сложение нескольких равных куч (в каждой куче n предметов, а число куч равно m). Возведение в степень – многократное перемножение m сомножителей, каждый из которых равен числу n. На первый взгляд понятие степени по важности должно уступать понятиям сложения и умножения, но его роль в полной мере выявляется при использовании позиционной системы счисления, которая придумана для записи натуральных чисел. Именно она потребовала введения дополнительного ненатурального числа – нуля, обозначающего отсутствие пересчитываемых предметов.

Вычитание – удаление из кучи, содержащей n предметов, m предметов. Ясно, что с физической точки зрения n > m. Операции сложения и вычитания тесно связаны между собой. В частности, очевидно, что (n – m) + m = а, то есть операция вычитания является обратной к операции сложения. Деление – распределение предметов из кучи между несколькими лицами поровну. Тот факт, что деление нацело не всегда возможно сразу же приводит к важнейшей для математики операции деления с остатком.

3.

Символически обозначив операцию суммирования и получаемый при этом результат с помощью равенства a + b = c, мы можем перечислить соответствующие термины, используемые в арифметике:

а – первое слагаемое, b –второе слагаемое, с – сумма.

Для операции вычитания a – b = c:

а – уменьшаемое, b –вычитаемое, с – разность.

Для операции умножения a b = c:

а – первый сомножитель, b –второй сомножитель, с – произведение.

Для операции деления a: b = c:

а – делимое, b –делитель, с – частное.

Смысл основного свойства сложения – закона коммутативности, таков: от перестановки слагаемых сумма не меняется. Символически он выражается равенством a + b = b + a. С физической точки зрения (сложение – объединение двух совокупностей предметов) это свойство очевидно.

Часто приходится последовательно складывать большое количество чисел. Подобная сумма записывается в виде: а + b + c + d +… + z. При большом количестве операций возникает необходимость указать последовательность их выполнения. Одним из важных способов для этого являются скобки.

Пара связанных между собой скобок () заключает в себя несколько математических символов. Левая скобка называется открывающейся, а правая – закрывающейся. Скобки могут быть вложены друг в друга: (…(…)…), создавая разные уровни.

Действуют следующие договорённости:

1. Из двух операций одинакового типа, находящихся вне скобок или находящихся в скобках на одном уровне, раньше выполняется та, что записана левее.

2. Операция в скобках выполняется раньше операции вне скобок.

3. Если две операции разделены вложенными скобками, то раньше выполняется та из них, которая находится во вложенных скобках.

С помощью скобок можно создавать очень сложные вложенные структуры, однако для описания основных законов арифметики достаточно использования скобок без вложения.

Для операции сложения выполняется ещё один закон – закон ассоциативности, состоящий в том, что слагаемые можно складывать в любом порядке. Символически этот закон выражается равенством (a + b) + с = a + (b + с). Именно этот закон позволяет использовать запись суммы вообще без скобок. С физической точки зрения это свойство также очевидно, как и коммутативность.

Практическая важность законов коммутативности и ассоциативности связана с тем, что суммирование порой упрощается при изменении порядка суммирования, например,

73 + 59 + 27 = 73 + (59 + 27) = 73 + (27 + 59) = (73 + 27) + 59 = 100 + 59 = 159