Полярная система координат

Полярная система координат на плоскости определяется заданием некоторой точки О, называемой полюсом, луча , исходящего из этой точки и называемого полярной осью, и единицы масштаба (рис. 4.10).

Пусть М – произвольная точка плоскости. Обозначим = ОМ – расстояние точки М от полюса, – угол, отсчитываемый от полярной оси против часовой стрелки до направления ОМ.

Числа и называются полярными координатами точки М, – полярный радиус, – полярный угол точки М.

Задание пары чисел (, ) однозначно определяет точку М на плоскости. Если ограничить изменение пределами (или ), то каждой точке плоскости также будет однозначно соответствовать пара чисел ().

Исключение составляет полюс, для которого = 0, а угол не определен.

Рис. 4.10

Часто оказывается полезным рассматривать на плоскости полярную систему координат (ПСК) вместе с декартовой системой координат (ДСК). Выберем ДСК так, чтобы ее начало 0 совпадало с полюсом, а ось ОХ была направлена по полярной оси (рис.4.11). Тогда полярные координаты (, ) и декартовы координаты () точки М связаны соотношениями:

;	(4.25)
	(4.26)

(4.27)

Из этих формул следует:

;

(4.28)

Рис. 4.11

Формула для определяет два угла и + в промежутке [0; 2 ). Чтобы уточнить, какой из углов выбрать, нужно учесть четверть, в которой находится точка М, или воспользоваться формулами (4.28).

Чтобы перейти от уравнения линии в декартовых координатах к ее полярному уравнению, нужно вместо (), подставить в уравнение их выражения из формул (4.25). Обратный переход от полярного уравнения к уравнению в декартовых координатах осуществляется с помощью формул (4.26), (4.28).

Пример. Построить в полярной системе координат точки:

Решение. Построение точек показано на рис. 4.12.

Рис. 4.12