Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Простейшие тригонометрические уравнения
Что такое тригонометрическое уравнение? Тригонометрическим уравнением называется уравнение, содержащее переменную под знаком тригонометрических функций.
Уравнения вида sin x = a; cos x = a; tg x = a; ctg x = a, где x - переменная, а число называются простейшими тригонометрическими уравнениями (для функций sin x и cos x |a| < 1)
Есть несколько способов решать тригонометрические уравнения (с помощью единичной окружности или графически), но проще всего выучить формулы:
БЛОК I a > 0
Þ
БЛОК II – a < 0
Þ
БЛОК III частные случаи (а = 0, 1, – 1) Þ
Þ
Þ Примеры
Ответ: ;
Однородные тригонометрические уравнения
Уравнение вида a sinx + b cosx = 0, где a ≠ 0, b ≠ 0 называется однородным тригонометрическим уравнением первой степени.
Уравнение вида a sin2x + b sinx cosx + c cos2x = 0, где a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0
называется однородным тригонометрическим уравнением второй степени.
Например:
Пример: a sin2x + b sinx cosx + c cos2x = 0
Выполним почленное деление на cos2x (это возможно, т.к.: sinx и cosx не могут одновременно равняться нулю)
а tg2x + b tgx + c = 0 (уравнение, сводящееся к квадратному). Итак, о днородные тригонометрические уравнения первой степени решаются делением обеих частей уравнения на cosx (или sinx). А уравнения второй степени решаются делением обеих частей на cos2x (или sin2x).
Пример 1. Решить уравнение:
Решение: Это уравнение является однородным относительно sinx и cosx. Поэтому, разделив его на , получим
Введем новую переменную и решим квадратное уравнение
Ответ:
Пример 2.
3 sin2x – 4 sinx cosx + cos2x = 0 Т.к. cos2x ≠ 0, то
3tg2x – 4 tgx + 1 = 0 Замена: tgx = у. 3у2– 4 у + 1 = 0 D = 16 – 12 = 4 y1 = 1 или y2 = 1/3 tgx = 1 или tgx = 1/3 tgx = 1: Þ x = arctg (1/3) + πn, n ∈Z. tgx = 1/3: Þ х = arctg1 + πn, x = π/4 + πn, n ∈Z. Пример 3. sin2x – 10 sinx cosx + 21cos2x = 0 Т.к. cos2x ≠ 0, то tg2x – 10 tgx + 21 = 0 Замена: tgx = у. у2 – 10 у + 21 = 0 у1 = 7 или у2 = 3 tgx = 7 или tgx = 3 tgx = 7: х = arctg7 + πn, n ∈Z tgx = 3: х = arctg3 + πn, n ∈Z Пример 4 sin22x – 6 sin2x cos2x + 5cos22x = 0 Т.к. cos22x ≠ 0, то 3tg22x – 6tg2x +5 = 0 Замена: tg2x = у 3у2 – 6у + 5 = 0 D = 36 – 20 = 16 у1= 5 или у2 = 1 tg2x = 5 или tg2x = 1 tg2x = 5: 2х = arctg5 + πn, х = 1/2 arctg5 + π/2 n, n ∈Z tg2x = 1: 2х = arctg1 + πn х = π/8 + π/2 n, n ∈Z Пример 5 6sin2x + 4 sin(π-x) cos(2π-x) = 1. 6sin2x + 4 sinx cosx = 1. 6sin2x + 4 sinx cosx – sin2x – cos2x = 0. 5sin2x + 4 sinx cosx – cos2x = 0. Т.к. cos2x ≠0, то 5tg2x + 4 tgx –1 = 0 Замена: tg x = у. 5у2 + 4у – 1 = 0 D = 16 + 20 = 36 у1 = 1/5 или у2 = –1 tg x = 1/5 или tg x = –1 tg x = 1/5: х = arctg1/5 + πn, n ∈Z tg x = –1: х = arctg(–1) + πn, n ∈Z х = –π/4 + πn, n ∈Z
Контрольные вопросы и задания для самостоятельного решения по разделу 7 Ответьте на вопросы: 1) Какое уравнение называется тригонометрическим? 2) Какое уравнение называется однородным первой степени? 3) Какое уравнение называется однородным второй степени?
Решите упражнения: 1) 2) 3) 4)
5) 6) 7) 8)
9) 10) 11)
12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19)
Проверьте своё решение:
Ответы: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19)
|