Уравнение Клейна-Гордона-Фока и волновая функция фотона

Уравнение Шредингера описывает нерелятивистскую микрочастицу. Чтобы получить уравнение для волновой функции релятивистской частицы, воспользуемся релятивистской связью энергии и импульса:

и подставим в нее выражения для квадрата энергии и импульса, полученные с помощью производных из волновой функции и аналогичные выражениям

E = , p ² = – .

Приходим к дифференциальному уравнению Клейна-Гордона-Фока, которое аналогично уравнению Шредингера, но описывает волновую функцию свободной релятивистской частицы:

„ + m²c²) ,

где дифференциальный оператор „ = – оператор д¢Аламбера.

Пусть фотон движется со скоростью света с. Он не имеет массы покоя. Фотон может быть по-разному поляризован в пространстве, то есть, его волновая функция должна быть векторной функцией. В пространстве Минковского волновая функция фотона образует 4-вектор . «Временная» часть этого вектора связана с потенциалом j электрического поля: A _ct = j / c, а «пространственная» часть называется вектор-потенциалом. – напряженность электрического поля, – индукция магнитного поля:

=– grad j = ¶ /¶ t, = rot .

Имеем для фотона:

„ A_m = 0 Û .

Это стандартное уравнение (волновое). Аналогичные волновые уравнения справедливы для электрического и магнитного полей:

„ = 0 и „ = 0.

* Уравнение квантовой теории для свободного фотона совпадает по форме с классическим уравнением, описывающим электромагнитную волну.