Нестационарное уравнение Шредингера

Состояние свободной микрочастицы, движущейся вдоль оси x, описывается волновой функцией

. (*)

Вычислим производные от этой функции и найдем, что

E = .

Любое другое состояние частицы можно в соответствии с принципом квантовой суперпозиции

или

представить в виде суммы состояний со всеми разрешенными импульсами:

(в случае дискретного спектра) (**)

или

(в случае непрерывного спектра). (***)

Но уравнение квантовой теории, позволяющее найти волновую функцию, должно иметь одинаковую форму для любых состояний (*), (**), (***).

Если полная энергия Е нерелятивистской частицы определена, то она будет суммой потенциальной энергии U (x, t) и кинетической энергии K = mV ²/2 = p ²/2 m:

E = p ²/2 m + U (x, t).

Подставим (*) в эту формулу для полной энергии, получим:

.

Нестационарное уравнение Шредингера описывает волновые свойства микрочастиц.

Реальная частица движется в трехмерном пространстве, поэтому для ее описания надо использовать волны де Бройля вида

Þ p ² = p ²_x + p ²_y + p ²_z = – ²×DY/Y,

где D = – дифференциальный оператор Лапласа.

Имеем после подстановки:

– нестационарное уравнение Шредингера.

Нестационарным оно называется потому, что входящая в него потенциальная энергия взаимодействия микрочастицы с внешними телами зависит от времени.