Приложения производной к задачам геометрии

Если кривая задана уравнением , то угол , образованный касательной к кривой в точке с положительным направлением оси , находится из уравнения

. (1)

Уравнение касательной к кривой в точке имеет вид

, (2)

где есть значение производной при . Нормалью к кривой называется прямая, перпендикулярная касательной и проходящая через точку касания. Уравнение нормали имеет вид

. (3)

Пример 1: Составить уравнения касательной и нормали к кривой , проведенной в точке . Найти угол, образованный касательной с осью абсцисс.

Решение: Найдем сначала

,

подставляя координату точки получаем

.

Из (1) получаем: ; тогда . Подставляя в формулу (2) находим уравнение касательной

или .

Аналогично из формулы (3) выводим уравнение нормали

.

Ответ: уравнение касательной ; нормали ;угол с осью абсцисс .