Вычисление средних значений при начислении простой процентной ставки

Пример 1. Предприятие получило следующие кредиты под разные простые процентные ставки: 36 000 руб. на 240 дней под 17,5 % годовых;

28 000 руб. на 150 дней под 16 % годовых; 60 000. руб. на 100 дней под 19% годовых; 52 000 руб. на 80 дней под 17 % годовых. Определите средний срок кредита.

Решение. Вначале сделаем некоторые замечания по поводу использования формулы

представляющей один из вариантов определения среднего срока кредита. Конечно, в формуле периоды n_k измеряются в любых единицах времени (годы, кварталы, месяцы, дни и т.д.), согласованных с размерности соответствующих процентных ставок i_k (годовые, квартальные месячные, дневные и т.д.). Однако вид формулы позволяет определять средний срок, не особенно заботясь о согласовании размерностей исходных сроков и процентных ставок.

Так, если, например, сроки n_k даны в днях (вообще в любых, но единых для всех сроков единицах времени), а i_k представляют собой годовые процентные ставки, то, не занимаясь переводом n_k в годы, по формуле сразу получаем средний срок в днях. Аналогичные соображения можно высказать и в связи с применением формул

, ,

Принимаем P₁ = 36 000 руб., Р₂ = 28 000 руб., P₃ = 60 000 руб., P₄ = 52 000 руб. Несмотря на то что i₁ = 0,175; i₂ = 0,16; i₃ = 0,19 и i₄ = 0,17 - годовые процентные ставки, в соответствии со сказанным выше, средний срок будем измерять в днях, а исходные сроки переводить в годы не будем, т.е. n₁ = 240 дней, n₂ = 150 дней, n₃ = 100 дней, n₄ = 80 дней. По формуле получим:

Если же срок каждого кредита измерять в годах, считая, что в году 360 дней, то n₁ = 0,667 года, n₂ = 0,417 года, n₃ = 0,278 года, n₄ = 0,222 года и

или =0,361 • 360 = 129,96 дня, т.е. = 130 дней.

Для проверки правильности результата найдем начисляемые проценты на каждый кредит при исходных сроках, считая в году 360 дней, и сложим эти проценты:

36 000 • 0,667 • 0,175 + 28 000 • 0,417 • 0,16 + 60 000 • 0,278 • 0,19 + 52 000 • 0,222 • 0,17 = 11 201,94 руб.

Теперь найдем сумму процентов при замене всех сроков на средний срок:

36 000 • 0,361 • 0,175 + 28 000 • 0,361 • 0,16 + 60 000 • 0,361 • 0,19 + 52000 • 0,361 • 0,17 = 11 198,22 руб.

Пример 2. Выданы следующие кредиты под простые процентные ставки: 340 000 руб. на 1 день под 10 % годовых и 1 000 руб. на 340 дней под 20 % годовых. Сравните между собой средние процентные ставки, определенные разными способами.

Решение. Пусть P₁ = 340 000. руб., P₂ = 1 000 руб.; n₁ = 1 день; n₂ = 340 дней; i₁ = 0,1; i₂ = 0,2.

Если воспользоваться формулой простой средней, то получим:

,

а если применить формулу средневзвешенной средней, то получим:

Пример 3. Заемщик взял 27 января у одного кредитора под одну и ту же простую процентную ставку в 20 % суммы размере 10 000 руб., 6 000 руб., 20 000 руб. и 16 000 руб. со сроками погашения соответственно 1 марта, 14 мая, 25 июня 18 августа того же года. Определите средний срок погашения всех ссуд и сумму, которую заемщик должен будет отдать кредитору, если в расчет принимаются точные проценты с точным числом дней и согласно соглашению для кредитора важно только то, чтобы величина начисленных процентов оставалась неизменной. Год невисокосный.

Решение. Всего заемщик взял у кредитора 52 000 руб. Считая, что на эту сумму сразу начисляются проценты и так как i₁= i₂= i₃= i₄= 0,2, по любой формуле по определению средней процентной ставки получим = 0,4.

Несмотря на то что процентные ставки i₁, i₂, i₃, i₄ являются годовыми, в соответствии со сделанными выше замечаниями средний срок погашения всех ссуд будем измерять в днях и отсчитывать от дня первого планового платежа, т.е. n₁ = 0, n₂ = 74, n₃ =116, n₄ = 170. Взятые суммы измеряем в тыс. руб.: P₁=10, P₂ =6, P₃ =20, P₄ = 16. Следовательно, сразу воспользовавшись формулой ,

являющейся в этой ситуации частным случаем формулы из предыдущего примера, получаем:

Отсчитывая от 1 марта 106 дней, получим 15 июня - дату, когда заемщик может отдать единовременно весь долг.

Поскольку кредитор дал кредит 27 января, найдем, что 15 июня заемщик должен отдать долг в размере:

52 000 • (1 + 139/365 • 0,2) = 55 960,43 руб.

Если бы в расчет принимались обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды, то средний срок погашения ссуды остался бы тот же (т.е. 15 июня - дата единовременного возврата долга), однако размер возвращаемой суммы, естественно, увеличился:

52 000 • (1 + 139/360 • 0,2) = 56 015,55 руб.

Пример 4. Банк собирался выдать ссуды в размере 115 000 руб., 25 000 руб. и 20 000 руб. на сроки соответственно 2, 6 и 9 месяцев под простые ставки 18, 20 и 22 % годовых, причем проценты удерживались сразу. Под какую единую ставку банк согласится выдать эти ссуды, если он намерен взыскать при выдаче ссуды ту же величину процентов, как в первоначальном контракте с клиентом? Чему будет равен средний срок ссуды при таком изменении контракта?

Решение. Так как банк сразу удерживает проценты, токлиенту на руки получает меньшую по величине ссуду, чем объявлено банком. Например, при ссуде 20 000 руб. на 9 месяцев под простую ставку 22 % годовых клиент получает 20 000 • (1-0,75 • 0,22) = 16 700 руб. и должен будет вернуть банку через 9 месяцев 20 000 руб., т.е. на сумму 13 400 руб. в течение полугода фактически происходит наращение по простой учетной ставке 20 %. Таким образом, при определении новой ставки можно воспользоваться формулой определения среднего значения простой учетной ставки.

Измеряя ссуды в тыс. руб., а сроки - в месяцах, принимаем:

F₁ = 15 000; F₂ = 25 000; F₃ = 20 000; n₁ =2; n₂ = 6; n₃ = 9; d₁ = 0,18; d₂ = 0,2; d₃ = 0,22. Отсюда:

Поскольку уже определена средняя ставка, то для нахождения среднего срока воспользуемся другой формулой.

месяцев.