Нескучная арифметика

Огромный путь проходит за школьные годы ребенок в своем математическом развитии — от усвоения элементарных, самоочевидных, на наш, взрослый, взгляд, понятий и представлений (любим же мы говорить: «Это просто, как таблица умножения») до приобщения к началам высшей математики. И пожалуй, нам, взрослым, самым малоплодотворным и неинтересным кажется первая часть этого пути.

Однако это далеко не так. Усвоение даже элементарных математических понятий требует от ребенка известной степени развития логического мышления. Те умственные приобретения, которые он получает в первые годы школьных занятий, могут оказаться поистине бесценными, если только мы сумеем открыть малышу полную меру их (и его собственных) возможностей.

Здесь чрезвычайно важно умение старшего собеседника возбудить бесчисленные детские «почему?» удачным сравнением, превращением простого в сложное, понятного в непонятное, привычного в контрастное, даже парадоксальное.

Достаточно иногда бывает лишь слегка усложнить, преобразовать структуру знакомых упражнений, заставить ученика посмотреть иными глазами на примелькавшиеся примеры и «скучные примеры» станут для ребенка увлекательнейшей «умственной пищей».

Попытаемся рассказать о построении таких занятий с ребенком; предварительно укажем, что они вовсе не рассчитаны только на тех, кто проявляет особо выраженную склонность к математике.

Примеры «наоборот». В школе большей частью решают группы примеров (простых или сложных), в которых вычисленный ответ записывается после знака равенства (в правой части):

Решать такие примеры может «надоесть». Но достаточно заменить указанные определенные примеры обращенными

176

формами, как они сразу приобретают для ребят гораздо более интересный и «интригующий» вид.

Предложите решить первокласснику следующие примеры на сложение и вычитание, где вычисления не выходят за пределы 20 (вместо клеток написать отсутствующие числа):

Во втором столбике пары чисел должны быть подобраны разные.

Более трудны (но вместе с тем интересны) примеры с тремя числами:

Решая три последних примера, дети могут сделать простейшее обобщение: числа в клетках оказываются равными. Или: если отнять какое-либо число и прибавить то же самое число, то первоначальное число не изменяется:

Далее сделайте искомыми не только числа (сумму, произведение и т. д.), но и знаки действий; вы убедитесь, что эти упражнения гораздо сложнее и интереснее исходных:

Если же искомыми будут два знака, то такой пример, при всей простоте материала, стоит на грани отгадки числового ребуса:

Самые смышленые могут заняться решением следующего занимательного задания: расставить знаки между цифрами так, чтобы ответ оказался равным единице:

177178

Укрупнять «единицы знания». Понятно, что для усвоения какого-либо знания приходится дробить его на «порции», единицы знания. Вопрос в том, как эти «порции» усваивать. Тут есть два способа. Первый: элементы знания подаются как отдельные самостоятельные единицы, из которых потом «собирается» целостное знание. Второй: они с самого начала рассматриваются как взаимосвязанные части целостного знания. Преимущества второго способа очевидны. Изучая часть не изолированно, а через целое, мы достигаем лучшего знания и каждой части (в ее связи с целым), и целого (как взаимосвязи всех его частей).

Скажем, ребенок решает примеры на сложение: 3+1; 5+2; 2+4 и т. д. Конечно, нельзя возражать против такой работы, но она немного дает мышлению, кроме затверживания результата каждого отдельного сложения.

Но возможен и другой, более содержательный путь. Обучая ребенка одновременно сложению и вычитанию, можно уже на простейших примерах (скажем, 2+1=3) показать ему, как по-разному преобразуется один и тот же пример, как взаимосвязаны и сами действия. Действительно:

Эта четверка примеров выступает как содержательная и целостная единица математического знания. И она дает неизмеримо больше, чем простая сумма знаний по каждому отдельному примеру. Усвоение математики становится более емким, а главное, более глубоко схватывающим суть математических отношений и связей.

В новых программах для начальных классов — в отличие от прежних — предусмотрено одновременное изучение взаимосвязанных действий методом их противопоставления: сложение — вычитание, больше — меньше, увеличивать — уменьшать, плюс — минус и т. д. Противопоставление выступает здесь не как разрыв, а как особый способ связи между предметами, явлениями. Если общее число предметов неизменно, то, увеличивая их число в одной части, мы неизбежно уменьшаем его в другой части.

Тот же эффект дает и одновременное изучение действий умножения и деления. Вот четыре примера:

В ходе их усвоения и при хранении в памяти они выступают как одна единица математического знания. И она опять-таки дает гораздо больше, чем простая сумма знаний по каждому из названных примеров.

Наши иллюстрации элементарны, но помогают понять явления, имеющие всеобщий характер. Математический материал любого класса школы (и не только школы) поистине соткан из подобных «узлов» взаимосвязанных понятий, действий, логических ходов.

Порой родители дома побуждают детей побольше

179

«тренироваться» в решении однотипных примеров и задач (и говорят потом с гордостью: «Он задачки как орехи щелкает!»).

Скажем, ребенок решил задачу: «Миша купил 10 тетрадей ценой по 2 копейки каждая и еще резинку за 5 копеек. Сколько стоит вся покупка?»

Решение:

Обычно дальше ему предлагают задачу такого же типа — на другом содержании и с другими числами. Конечно, это помогает закрепить опыт решения задач определенного типа. Но мышлению тут мало пищи. И неудивительно, что выполнение однотипных заданий детей совсем не вдохновляет; напротив, оно довольно быстро надоедает им, отбивает интерес к учению.

В последние годы все большее распространение получает метод «обратной задачи». Та же задача преобразуется в новую благодаря тому, что искомые и известные данные меняются местами. Вот как будет выглядеть задача в новом виде: «Миша купил несколько тетрадей ценой по 2 копейки каждая и еще резинку за 5 копеек. Вся покупка стоит 25 копеек. Сколько тетрадей купил Миша?»

Возможны еще два вида этой задачи: когда неизвестна цена каждой тетради или когда неизвестна цена резинки.

Сопоставление разных видов одной и той же задачи помогает школьнику лучше вникнуть во внутренние взаимосвязи ее элементов. И это дает для математического развития неизмеримо больше, чем просто заучивать способ решения задач определенного типа. Вот почему в домашних заданиях следует использовать любую возможность для постановки задач в новом, неожиданном виде — особенно если родители хотят, чтобы ребенок делал больше того, что задают (видя, скажем, его интерес к предмету).

Укрупнение единицы знания позволяет преодолеть трудности, возникающие при усвоении действий, которые могут быть «спутаны» друг с другом. Так, дети часто ошибаются, путая «увеличить (уменьшить) на столько-то единиц» и «увеличить (уменьшить) во столько-то раз». Попробуйте дать ребенку ряд задач и примеров, в которых последовательно сопоставлялись бы все эти действия, — охватив их «одним взглядом», ребенок уже не будет принимать одно за другое, будет внимателен к различиям этих действий.

Важным логическим приемом, дающим возможность целостно охватить большой объем разнородных знаний, является классификация, т. е. распределение (и объединение), предметов по определенным признакам.

В простейшем случае классификация проводится по одному общему признаку. Скажем, сортировка карандашей по цвету (красные, синие, желтые и т. д.).

180

Особый интерес представляют виды классификации по двум и более общим признакам (скажем, цвет и форма предмета). Наглядное представление о них дает матрица, т. е. таблица с перпендикулярно пересеченными графами.

Пусть речь идет, например, о классификации натуральных чисел до 20. По количеству знаков, которыми они записываются, эти числа различаются как однозначные и двузначные. Если же иметь в виду их делимость на два, то числа разделяются на четные и нечетные. Учитывая оба условия, получаем таблицу.

Такая таблица создает сложноцелостное представление о всем ряде натуральных чисел до 20 и четырех группах, по которым они распределяются в зависимости от количества знаков и делимости на 2.

Впоследствии такой «матричный» подход, умение сопоставлять и классифицировать по нескольким признакам, весьма поможет ребенку и при усвоении различных школьных дисциплин — от физики до биологии.