Задачи, приводящие к понятию производной

Задача о касательной.

Пусть дана кривая y = f(x) на интервале (a,b). Нужно найти уравнение касательной в точке М (х ,y ). Дадим независимой переменной х в точке х₀ приращение , получим x = х + x . Зависимая переменная получит приращение

y = f (х + x) - f (х ).

Обозначим угол секущей с осью Ox через ( x).

Пусть функция y = f (x) определена и непрерывна в интервале (a,b).

Пусть х ₀Î(a,b), тогда точка М ₀(х ₀, у ₀), где y ₀ = f(x ₀) лежит на графике функции (см. рис. 18.3). Пусть М (х, у), где y=f (x), другая точка графика функции и х = х ₀ + D х. Проведем через М ₀ и М прямую и назовем ее секущей. Обозначим через j угол между секущей М ₀ М и осью Ох. Заметим еще, что расстояние между точками М ₀ и М стремится к нулю, когда точка М стремится вдоль кривой вдоль кривой к точке М ₀, т.е. | М ₀ М | = →0 при D х →0, ведь D у →0 при D х →0 в силу непрерывности функции y = f (x).

Определение 69. Касательной M ₀ N к графику функции y = f(x) в точке М ₀ называется предельное положение касательной в точке М_0.

Будем приближать точку М по кривой к точке М_0, тогда секущая займет предельное положение касательной в точке М₀.

Так как = tg ( x) = tg , то угловой коэффициент касательной к кривой y = f(x) равен производной функции в точке касания. Предел правой части этого равенства называется производной функции y = f(x) в точке x₀ и сокращенно обозначается

= (x), k = tg = (x).

Зная угловой коэффициент касательной, легко написать ее уравнение:

y - y = (х )(x - х ).

Зная угловой коэффициент касательной, легко написать уравнение нормали:

y - y = - (x - х ).

Пример 76. Составить уравнение нормали и уравнение касательной к данной кривой в точке с абсциссой .

Решение. ,

Составим уравнение касательной.

y – 0 = - 2(x + 1) или y = - 2(x + 1) - уравнение касательной

Составим уравнение нормали.

уравнение нормали