Выделение главной части

Теорема 22. Пусть 1) a(х), b(х) - б.м.ф. при х®х₀

2) a(х)~b(х) - при х®х₀

Тогда 1),2)Þ a(х)-b(х)=о(a(х)).

Примечание: Эта теорема позволяет представить приведенные выше эквивалентные функции в виде sinx = x + o(x), tgx = x + o(x),

1-cosx = x²/2 + o(x²), ln(1+x) = x + o(x), e^x – 1 = x + o(x). Представление бесконечно малой функции a(х) в виде a(х) = Ах^л + o(х^л) при х®х₀ называется выделением главной части. Ax^k –главная часть бесконечно малой функции.

Теорема. Пусть 1) a(х)b(х)-б.м.ф. при х®х₀

2) a(х)~b(х) при®х₀

3) $h(x) "хÎ (x₀,d)

Тогда 1)-3)Þ (*)

Примечание. В соответствии с (*) бесконечно малую функцию a(х) можно заменить эквивалентной ей, бесконечно малой функцией b(х) при условии, что a(х)-множитель в выражении, стоящем под знаком предела.

При невыполнении этого условия, вообще говоря, было бы ошибкой заменить a(х) на b(х).

Пример 66. Найти предел .

Решение. Действительно, если заменить б.м.ф. на эквивалентные,

получим неверное решение:

.

Правильное решение

.

Пример 67. Найти предел .

Решение.

Ошибочное решение: