Несовместимые понятия

Несовместимыми являются понятия, объемы которых не совпадают ни полностью, ни частично. Это происходит в результате того, что в содержании данных понятий присутствуют признаки, которые полностью исключают совпадение их объемов.

Отношения несовместимости принято делить на три вида, среди которых различают соподчинение, противоположность и противоречие.

Соподчинение. Отношение соподчинения возникает в случае, когда рассматриваются несколько понятий, исключающих друг друга, но при этом имеющих подчинение другому, общему для них, более широкому (родовому) понятию. Так как подобные понятия исключают друг друга, совершенно естественно, что они не перекрещиваются. Например, понятие «огнестрельное оружие» в своем объеме содержит «револьвер», «автомат», «винтовка» и др. Рассматривая данные понятия, можно отметить, что ни один револьвер не может быть автоматом, как ни одна винтовка не является револьвером. Несмотря на взаимное исключение, данные понятия подчинены общему. На круговой схеме отношение соподчинения изображается в виде нескольких кругов (их количество соответствует непересекающимся понятиям), вписанных в один, больший круг (рис. 4). Понятия, находящиеся в отношении подчинения к более общему для них понятию, но не пересекающиеся, носят название соподчиненных.

Соподчиненные понятия — это виды родового понятия.

При определении понятий, входящих в отношение соподчинения, иногда возможна ошибка. Она заключается в том, что вместо взаимоисключающих понятий в качестве примера приводятся понятия, подчиненные одно другому (например, «писатель» — «русский писатель» — «Н. В. Гоголь»). В результате отношение соподчинения подменяется отношением подчинения, что недопустимо. На круговой схеме отношение противоположности изображается как круг, разделенный на несколько частей противоположными понятиями. Противоположные понятия, допустим «белый» и «черный», находятся на разных сторонах этого круга и отделены друг от друга другими понятиями, среди которых находятся, например, «серый» и «зеленый» (рис. 5).

Противоположность (контрастность). Понятиями, находящимися в отношении противоположности, можно назвать такие виды одного рода, содержания каждого из которых отражают определенные признаки, не только взаимоисключающие, но и заменяющие друг друга.

Объемы двух противоположных понятий составляют в своей совокупности лишь часть объема общего для них родового понятия, видами которого они являются и которому они соподчинены.

Каждое из этих понятий в содержании имеет признаки, которые при наложении на противоположное понятие перекрывают (заменяют) признаки последнего.

Характерно, что данные понятия по своей языковой природе являются словами-антонимами. Эти слова хорошо отражают контраст, вследствие чего широко используются в учебном процессе. Словами-антонимами, выражающими противоположные понятия, являются: «верх» — «низ», «черное» — «белое», «тяжелый снаряд» — «легкий снаряд» и т. д.

Противоречие (контрадикторность). Отношение противоречия возникает между двумя понятиями, одно из которых содержит определенные признаки, а другое отрицает (исключает) эти признаки, не заменяя их другими. В отношение противоречия вступают положительные и отрицательные понятия. Слова, составляющие противоречивые понятия, также являются антонимами. Таким образом, на линейной схеме формулу отношения противоречия можно изобразить следующим образом: положительное понятие следует отметить буквой А, а отрицательное (противоречащее последнему) обозначить как не-А. Понятия «громкий» и «негромкий», «высокий» и «невысокий», «приятный» и «неприятный» отлично иллюстрируют отношение противоречия. То есть дом может быть большим и небольшим; кресло удобным и неудобным; хлеб свежим и несвежим и т. д.

В связи с этим два видовых понятия, находящихся в отношении противоречия, занимают весь объем понятия, являющегося для них родовым. Следует особо отметить, что между двумя противоречащими понятиями не может быть никакого иного понятия.

При использовании для наглядности кругов Эйлера отношение противоречия изображается как круг, разделенный на две части, А и В (не-А) (рис. 6).

определение понятий

Определение понятия (или дефиниция) есть логическая операция, которая раскрывает содержание понятия или устанавливает значение термина.

С помощью определения понятий мы можем раскрывать содержание понятия и тем самым отличать мыслимые в нем предметы от других предметов. Так, например, давая определение понятия “трапеция”, мы отличаем его от других четырехугольников - ромба, квадрата, прямоугольника или параллелограмма: “Трапеция - четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие - не параллельны” (1). Приведем еще несколько примеров определений понятий, взятых из школьных учебников: “Вещества, растворы которых проводят электрический ток, называются электролитами” (2); “Флорой называют видовой состав растений, произрастающих на той или иной территории” (3); “Естественный отбор - процесс выживания наиболее приспособленных особей, который ведет к преимущественному повышению или понижению численности одних особей в популяции по сравнению с другими” (4); “Алгоритм есть конечная последовательность общепонятных предписаний, формальное (не требующее проявления человеческой изобретательности) исполнение которых позволяет получить за конечное время решение некоторой задачи!” (5).

Явные и неявные определения

В явном определении понятие, содержание которого надо раскрыть, называется определяемым, а то понятие, посредством которого оно определяется, называется определяющим. Явное определение устанавливает между ними отношение равенства их объемов, т.е. отношение эквивалентности. В неявном определении место определяющего понятия занимают контекст, набор аксиом или описание способа построения определяемого объекта.

Реальные и номинальные определения

Определение будет реальным, если в нем перечисляются существенные признаки предметов, мыслимых в понятии. Если определяется термин, обозначающий предмет, то определение будет номинальным. Из вышеприведенных определений (1), (4) и (5) - это реальные определения, а (2) и (3) - номинальные.

С помощью номинальных определений вводятся также новые термины, краткие имена взамен более сложных описаний предметов. Например, “Промышленным роботом называется робот, состоящий из манипуляторов, управляемый по программе и выполняющий различные производственные операции и пространственные перемещения объектов”, или “Персональной называется ЭВМ индивидуального пользования, исполненная в настольном, портативном или карманном варианте, включающая собранные в едином корпусе микроЭВМ, клавиатуру и экран для ввода и вывода данных, внешнее запоминающее устройство, а также предусматривающая возможность подсоединения малогабаритного печатающего устройства и подключения его к сети ЭВМ”.

Путем номинальных определений вводятся и знаки, заменяющие термины. Например, “Конъюнкция обозначается знаками & или Щ“, “С - скорость света”, “Тангенс угла a обозначается как tg a“ и т.д.

Наиболее важным среди реальных определений является определение через ближайший род и видовое отличие. Суть этого определения в том, что сначала устанавливается родовой признак, свойственный мыслимому в понятии предмету, а затем указывается его специфический, видовой признак (или несколько таких признаков).

Например:

1. “Голография - метод получения объемного изображения объектов, основанной на интерференции волн”.

2. “Кристалл есть твердое тело, обладающее трехмерной периодической атомной или молекулярной структурой а при равновесных условиях образования имеющее форму правильного симметричного многогранника”.

3. “Гротеск - один из способов сатирического изображения жизни, отличающийся резким преувеличением, сочетанием реального и фантастического”.

Признак, являющийся общим для класса предметов, из числа которых выделяется их подкласс, мыслимый в определяемом понятии, называется родовым признаком, а сам этот класс - родом. В приведенных примерах родовым являются понятия “метод”, “твердое тело”, “способ сатирического изображения жизни”.

Признаки, при помощи которых определяемый подкласс предметов выделяется из класса предметов, соответствующих родовому понятию, называются видовым отличием. При определении понятия могут быть указаны один или несколько видовых признаков.

Разновидностью определения через род и видовое отличие является генетическое определение. Оно часто встречается в школьных учебниках. Генетическим называется определение, в котором указывается способ, которым образуется только данный предмет, и шкакой другой (это его видовое отличие). Приведем несколько примеров генетических определений из области математики и химии.

1. Круглый конус может быть получен вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов.

2. Шар - это геометрическое тело, образованное вращением полукруга (или круга) вокруг своего диаметра.

3. Кислотами называются сложные вещества, образующиеся из кислотных остатков и атомов водорода, способных замещаться атомами металлов или обмениваться на них.

Еще одной разновидностью родовидового определения является операциональное определение, в котором мыслимые в нем предметы выделяются с помощью указания тех или иных операций, выполнение которых дает возможность отличать эти предметы от других. Например: “Щелочь это жидкость, окрашивающая лакмус в синий цвет”.

Правила явного определения. Ошибки, возможные в определении

1. Определение должно быть соразмерным, т.е. объем определяющего понятия должен быть равен объему определяемого понятия.

Это правило часто нарушается, в результате чего возникают логические ошибки в определении. Типы этих логических ошибок:

а) широкое определение, когда определяющее понятие по объему шире, чем определяемое понятие. Такая ошибка содержится в следующих определениях: “Гравитация - это взаимодействие двух материальных тел”; “Лампа - источник света”. Понятие “окружность” неправильно определяется так: “Это фигура, которая описывается движущимся концом отрезка, когда другой его конец закреплен, или фигура, которая образована движущимся концом циркуля”. С помощью этого определения нельзя отличить понятие “окружность” от понятия “дуга”, так как не указано, что окружность - это кривая замкнутая линия;

б) узкое определение, когда определяющее понятие по объему уже, чем определяемое понятие. Например, “совесть - это осознание человеком ответственности перед самим собой за свои действия и поступки” (а перед обществом?);

в) Определение в одном отношении широкое, в другом - узкое. Например, “бочка - сосуд для хранения жидкостей”. С одной стороны, это широкое определение, так как сосудом для хранения жидкостей может быть и чайниц, и ведро, и т.д.; с другой стороны, это узкое определение, так как бочка пригодна для хранения и твердых тел, а не только жидкостей.

2. Определение не должно содержать круга. Круг возникает тогда, когда определяемое понятие и определяющее понятие определяются одно через другое.

В определении “вращение есть движение вокруг своей оси” будет допущен круг, если до этого понятие “ось” было определено через понятие “вращение” («ось - это прямая, вокруг которой происходит вращение”).

Круг возникает и тоща, когда определяемое понятие характеризуется через него же, лишь выраженное иными словами, или когда определяемое понятие включается в определяющее понятие в качестве его части. Такие определения носят название тавтологий.

Не могут считаться определениями из-за их тавтологичности следующие фразы: “Детектор - прибор, осуществляющий детектирование”, “Парамагнетик - вещество, обнаруживающее парамагнетизм”, “Сверхпроводник - вещество, обнаруживающее явление сверхпроводимости”, “Ферромагнетик - вещество, обнаруживающее ферромагнетизм”, “Фильтрование - процесс разделения с помощью фильтра”.

Логически некорректным является употребление таких, например, тавтологий, как “масляное масло”, “трудоемкий труд”, “порученное поручение”, “прогрессирующий прогресс”, “ заданная задача”, “изобрету изобретение”, “поиграем в игру”, “памятный сувенир”, “подытожим итоги” и др.

3. Определение должно быть четким, ясным. Это правило означает, что смысл и объем понятий, входящих в определение, должен быть ясным и определенным. Определения понятий должны быть свободными от двусмысленности; не допускается подмена их метафорами, сравнениями и т.д.

Не будут корректными определениями следующие суждения: “Краткость - сестра таланта” (А.П. Чехов); “Повторение - мать учения”; “Всякое стихотворение - покрывало, растянутое на остриях нескольких слов” (А. Блок); “Гармония есть согласие мировых сил, порядок мировой жизни” (Он же); “Грация - это красота отдельного предмета, а гармония - красота пространства, понятого как мир бесконечно сложный в замкнутый” (В. Фаворский); “Родительская любовь - любовь самая бескорыстная” (Рюноскэ Акутагава).

Приемы, сходные с определением понятий

Дать определение всем понятиям невозможно (к тому же в этом нет необходимости), поэтому в науке и в процессе обучения используются другие способы введения понятий - приемы, сходные с определением: описание, характеристика, разъяснение посредством примера и др.

Описание состоит в перечислении внешних черт предмета с целью нестрогого отличения его от сходных с ним предметов. Описание дает чувственно-наглядный образ предмета, который человек может составить с помощью творческого или воспроизводящего представления. Описание включает как существенные, так и несущественные признаки.

Описания широко применяются в различных жанрах художественной литературы (например, описание внешности Анны Карениной, описание внешнего облика Плюшкина, Собакевича и других литературных героев, описание пейзажей, деревьев, птиц и т.д.), в исторической литературе (описание Куликовской битвы, описание обликов военачальников, царей и других личностей), в технической литературе (описание внешнего вида машин).

Яркие примеры описаний дают романы замечательного русского писателя М.А.Булгакова. Так, в “Белой гвардии” запоминающийся портрет: “...оказалась над громадными плечами голова поручика Виктора Викторовича Мышлаевского. Голова эта была очень красива странной и печальной и привлекательной красотой давней, настоящей породы и вырождения. Красота в разных по цвету смелых глазах, в длинных ресницы, Нос с горбинкой, губы гордые, лоб бел и чист, без особых примет. Но вот один уголок рта приспущен печально, и подбородок косовато срезан так, словно у скульптора, лепившего дворянское лицо, родилась дикая фантазия: откусить пласт мины и оставить мужественному лицу маленький и неправильный женский подбородок”.

А вот описание Воланда в “Мастере и Маргарите”, причем М.А. Булгаков иронизирует над попытками в ходе запоздалого расследования неких учреждений составить его (весьма противоречивый) словесный портрет: “Ни на какую ногу описываемый не хромал и росту был не маленького и не громадного, а просто высокого. Что касается зубов, то с левой стороны у него были платиновые коронки, а с правой - золотые. Он был в дорогом сером костюме, в заграничных в цвет костюма туфлях. Серый берет он лихо заломил за ухо, под мышкой нес трость с черным набалдашником в виде головы пуделя. По виду - лет сорока с липшим. Рот какой-то кривой. Выбрит гладко. Брюнет. Правый глаз черный, левый - почему-то зеленый. Брови черные, но одна выше другой”.

Характеристика дает перечисление лишь некоторых внутренних, существенных свойств человека, явления, предмета, а не его внешнего вида, как это делается с помощью описания.

Декабрист Иван Пущин (1798-1859) в своих воспоминаниях об А. С. Пушкине дает блестящую характеристику поэта-лицеиста: “Пушкин с самого начала был раздражительнее многих и потому не возбуждал общей симпатии: это удел эксцентрического существа среди людей. Не то чтобы он разыгрывал какую-нибудь роль между нами или поражал какими-нибудь особенными странностями, как это было в иных; но иногда неуместными шутками, неловкими колкостями сам ставил себя в затруднительное положение, не умея потом из него выйти.... Вместе мы, как умели, сглаживали некоторые шероховатости, хотя не всегда это удавалось”.

Иногда характеристика дается путем указания одного признака: “ Аристотель - величайший мыслитель древности”; “Леность - это отвращение человека от усилий”.

Характеристика литературных героев дается путем перечисления их деловых качеств, моральных, общественно-политических взглядов, а также соответствующих действий, черт характера и темперамента, целей, которые они ставят перед собой.

На уроках биологии, географии, истории и других часто применяется сочетание описания и характеристики.

Разъяснение посредством примера используется тогда, когда легче привести пример или примеры, иллюстрирующие данное понятие, чем дать его строгое определение через род и видовое отличие.

Иногда вместо термина “разъяснение посредством примера употребляется термин “указание”. Разновидностью этого приема являются остенсивные определения, которыми пользуются при изучении иностранного языка, когда называют и показывают предмет (или картинку с его изображением). Так же иногда поступают при разъяснении непонятных слов родного языка.

Другим приемом, заменяющим определение понятий, является сравнение. К сравнению прибегают как на уровне научного познания, так и на уровне художественного отображения действительности.

В науке сравнение позволяет выявить сходства и различия сопоставляемых предметов. В учебнике по биологии приводятся такие сравнения: “Тело медузы студенистое, похожее на зонтик”; “Почки - небольшие парные органы, имеющие форму бобов”; “Цветок гороха напоминает сидящего мотылька”. Во всех приведенных сравнениях общим признаком (основанием сравнения) является форма.

Американский специалист в области человеческих отношений Дейл Карнеги (1888-1955) советует избегать в выступлениях избитых, затертых выражений и приводит 12 сравнений для характеристики слова “холодный”. Вот они: “Холодный, как лягушка... как грелка поутру... как шомпол... как гробница... как ледяные вершины Гренландии... как глина... как черепаха... как снежный сугроб... как соль... как земляной червь... как заря... как осенний дождь”.

Сравнение на уровне художественного отображения действительности позволяет подметить общее, сходное в двух предметах - и в яркой форме, образно выразить это сходство. Иннокентий Анненский (1855-1909) использует такое сравнение: “Как конь попоною, одет рояль, забытый”. Игорь Северянин (1887-1941) характеризует цветы маргаритки следующими словами: “Их лепестки трехгранные - как крылья, как белый шелк”. И совершенно другую ассоциацию вызывает его сравнение из стихотворения “Ахматова”: “Кровь капает, как розы, изо рта”. Блистательны по силе выразительности сравнения в стихах Николая Гумилева (1886-1921): “Дышала трава, точно шкура вспотевшего льва”. В стихотворении “Каракалла” об императрице он пишет так:

Страстная как юная тигрица,

Нежная, как лебедь сонных вод.

И здесь же совершенно иное сравнение: “Ночные бабочки, как тени, с крыльями жемчужной белизны”.

Артур Конан Дойль, например, описывая в повести “Знак четырех” преследование Холмсом и Уотсоном преступников, пытавшихся ускользнуть на катере по Темзе, прибегает к таким сравнениям: “Теперь мы шли прямо на них. Огонь в топках гудел, мощная машина стучала, как огромное металлическое сердце. Острый, отвесный нос лодки, как ножом, рассекал спокойную воду, посылая влево и вправо две круглые, длинные, тугие волны. В такт машине вся лодка вибрировала и вздрагивала, как живое существо.... Впереди нас бежало по воде темное пятно - это была “Аврора”. Вихрь белой пены за ней свидетельствовал о скорости, с какой она шла”.

Художественные сравнения часто включают в свой состав слова: “как”, “как будто”, “словно” и др.

Различение есть прием, позволяющий установить отличие данного предмета от сходных с ним предметов.

Закон непротиворечия (противоречия, как он назывался в старых учебниках) - это логический закон, согласно которому не могут быть одновременно истинными взаимно исключающие друг друга мысли: "В данный момент снег идет" и "В данный момент снег не идет", "Этот цветок роза" и "Этот цветок ромашка" и т.п. С точки зрения логики объединение таких мыслей может быть только ложным и ни в коем случае не истинным.

Закон непротиворечия - суровый контролер наших рассуждений. Именно от его соблюдения зависит исходная согласованность наших мыслей, продолжающая линию закона тождества на устойчивость нашего мышления.

Логика различает два типа несовместимости мыслей:

а) формальную несовместимость, которая имеет место между некоторой мыслью и ее формальным отрицанием: "Снег идет" и "Снег не идет", где одна мысль есть непосредственное формальное отрицание ("не", "нет") другой;

б) содержательную (предметную) несовместимость, которая имеет место в связи с несовместимостью самих признаков внутри соответствующих вещей: "Цветок - роза" и "Цветок - ромашка". Эта несовместимость определяется не по формально-логическим законам, а по законам развития самих вещей. Такая несовместимость устанавливается не логикой, а конкретными науками о соответствующих предметах и явлениях. За ошибки в определении такой (предметной) несовместимости формальная логика не несет никакой ответственности.

Закон непротиворечия распространяется на оба типа несовместимости, хотя и с оговоркой в отношении предметной несовместимости. Закон требует, чтобы там, где противоречивость самого предмета выражается в форме формальных противоречий (так называемая антиномия-проблема) - "Вещь есть Р и не-Р одновременно" - была снята конкретным исследованием и выражена в формально-непротиворечивой форме. В противном случае логика не несет ответственности за ошибки в последующих рассуждениях и выводах относительно таким образом фиксируемых объектов.

Понятие - это мысль, в которой обобщены в класс и выделены из некоторого множества предметы по системе признаков, общей только для этих выделенных предметов. (Слово «предмет» употребляется здесь в самом широком смысле.) Например, понятие «четырехугольник с равными сторонами и углами» выделяет множество квадратов из области четырехугольников на основе признака «иметь равные стороны и равные углы».

Понятие (наряду с суждением и научной теорией) - одна из основных форм отражения мира на рациональной, логической ступени познания. Понятия представляют собой идеальные сущности, продукты мыслительной деятельности человека, их функция состоит в мысленном объединении разнородных объектов в единый класс и реализуется за счет выделения признака, присущего каждому из обобщаемых в понятии объектов и не присущего никакому другому объекту исходной предметной области, которая называется универсумом или родом понятия.

Языковой формой выражения понятий являются общие описательные имена. Неописательные имена не всегда выражают понятия, а лишь в тех случаях, когда они введены в качестве сокращений для общих описательных имен. Поэтому неописательные имена можно считать знаками понятий лишь в тех случаях, когда известно, какой это смысл. Иначе может произойти подмена понятий именами, не выражающими таковых. Особенно неприемлемо это в процессе обучения.

При определении понятия не говорилось о том, по каким признакам происходит обобщение и выделение предметов в понятии - по существенным или несущественным. Часто важно иметь не любое понятие о предметах, а научное, т.е. такое, в котором предметы обобщаются и выделяются по системе существенных признаков.

Понятие и слово неотделимы друг от друга в своем возникновении и функционировании. Слова являются материальной основой понятий, без которой невозможно ни их образование, ни оперирование ими.

Однако единство понятия и слова не означает их абсолютного тождества. В отличие от понятий слова во всех языках различны: одно и то же понятие выражается в разных языках по-разному. Кроме того, в одном языке также имеются некоторые различия между понятием и словом. Рассмотрим данные различия более подробно.

Во-первых, не всякое понятие выражается одним словом. Многие понятия выражаются совокупностью слов - словосочетаниями. Например, "материалистическая диалектика", "Основы теории государства и права", "экономическая теория", "студент первого курса юридического факультета".

Во-вторых, не всякое слово выражает понятие. Это касается прежде всего междометий, например: "ай", "ох", "эй" и других. Данные слова выражают, но не называют различные чувства и побуждения.

Не выражают понятия и местоимения, например: "я", "ты", "он" и т.д. Это слова-указания, они не значат, а указывают на значимое. "Я " - это только указание на говорящего, "ты" - на слушающего, "он" ("она", "оно", "они") - на лиц, не причастных к данному разговору. Но никаких существенных признаков в этих словах не содержится. Кто такое "я" (если не знать, кто говорит) - мужчина, женщина, студент, коммерсант, ученый и т.п. - неизвестно, потому что этого содержания нет в слове "я".

В-третьих, понятие и слово не всегда однозначно соответствуют друг другу. Такое положение связано с существованием в одном языке слов-синонимов и слов-омонимов. Синонимы - это слова, имеющие различное звучание, но относящиеся к одному понятию (например. Родина, Отечество, Отчизна). Омонимы - это слова, совпадающие в звучании, но относящиеся к различным понятиям (например, ключ, язык, звезда, мир). Способность слов выражать различные понятия ведет зачастую к неясности в рассуждениях или аргументации. Поэтому в науке пользуются словами-терминами (от лат. terminus - граница), точно выражающими содержание научных понятий.

Следует подчеркнуть, что логическая структура мысли и грамматический строй языка не совпадают. Законы логики по своей сути общечеловечны, а формы словосочетаний специфичны для каждого национального языка.

Грамматические законы строения речи связаны с законами логического строения мысли. Вместе с тем логические формы, в которых оттачивается мысль, испытывают влияние грамматических особенностей языка.

Каждая наука, как известно, стремится к однозначности своих терминов, имеющих строго определенное смысловое значение. В свою очередь неточная терминология ведет к смешению понятий, к путанице мыслей. Неопределенность терминов недопустима в речи юриста, выступлении экономиста, в преподавательской деятельности. Неряшливость в терминологии порождает непонимание у окружающих людей, затрудняет поведение человека, подрывает логическую стройность мышления, нарушаются основные требования дидактики - четкость и ясность выражения мысли в раскрытии учебного материала.

Следовательно, понятие, находясь во взаимосвязи со словом, не всегда однозначно с ним совпадает. Слово является формой выражения понятия, а оно, в свою очередь, выражает смысловое содержание слова.

Возникновение и развитие символической логики связано с работами Г.Фреге (1848–1925) и Ч.С.Пирса (1839–1914). После того, как Фреге в 1879 и Пирс в 1885 ввели в язык алгебры логики предикаты, предметные переменные и кванторы, возникла реальная возможность построения системы логики в виде логического исчисления, что и было сделано Фреге, который по праву считается основателем символической логики в ее современном понимании. Пытаясь реализовать идеи Лейбница, Фреге в «Begriffsschrift» (лучшая книга по символической логике 19 в.) изобрел символическую запись для строгих рассуждений. Хотя его нотация сейчас совсем не используется (напр., формулы рисовали в виде двумерного дерева), Фреге в действительности впервые построил исчисление предикатов (см. Логика предикатов). Исчисление предикатов есть формальная система, состоящая из двух частей: символического языка и логики предикатов. Кроме этого для исчисления предикатов Фреге дает строгое определение понятия «доказательство», которое является общепринятым и по сей день.

Основы современной логической символики были разработаны итальянским математиком Дж.Пеано (1858–1932), чьи интересы, как и Фреге, концентрировались вокруг оснований математики и развития формально-логического языка. Его знаменитый труд «Formulaire de mathйmatiques», опубликованный в 1894–1908 (в соавторстве), был нацелен на развитие математики в ее целостности, исходя из некоторых фундаментальных постулатов. Логическая запись Пеано была принята, хотя и частично модифицирована, А.Н.Уайтхедом и Б.Расселом в их знаменитой трехтомной «Principia Mathematica» (1910–1913), а затем воспринята Д.Гильбертом. Т.о., был введен в употребление во всем мире символический язык, где появляются логические знаки отрицания ~, конъюнкции &, дизъюнкции ∨, импликации ⊃, кванторов всеобщности ∀ и существования ∃.

Создание такого искусственного языка и с его помощью таких объектов, как логические исчисления, строго формализующие различные теории в виде некоторого конечного списка аксиом и правил вывода, означало, что в науке 19 в. возникла потребность в символической логике. В первую очередь это было вызвано потребностями математики, ставившей проблемы, для решения которых средства традиционной логики были непригодны. Одной из таких проблем была недоказуемость 5-го постулата Евклида из остальных постулатов и аксиом в его геометрии. Только с развитием символической логики появился аппарат, позволяющий решать проблему независимости аксиом данной теории чисто логическими средствами.

Основным стимулом развития символической логики в нач. 20 в. была проблема оснований математики. К.Вейерштрасс, Р.Дедекинд и Г.Кантор показали, что в качестве фундамента всей классической математики может рассматриваться арифметика целых чисел. Дедикинд и Пеано аксиоматизировали арифметику, а Фреге дал определение натурального числа как множества всех равномощных множеств. Т.о., вся математика сводилась к теории множеств. Однако в 1902 математический мир был потрясен простотой и глубиной парадокса, обнаруженного Расселом в 1-м томе «Оснований арифметики» (Grundgesetze der Arithmetik) Фреге (основной закон V).

Ответом на этот и на другие парадоксы теории множеств (см. Парадокс логический) стало возникновение четырех направлений в основаниях математики: логицизм (вся математика может быть дедуцирована из чистой логики без использования каких-либо специфических понятий, таких, как число или множество), интуиционизм (нужна новая логика), теоретико-множественный платонизм в виде аксиоматической теории множеств ZF (вводятся ограничения на образование множеств) (см. Множеств теория) и формализм (программа Гильберта). Как отмечает Э.Мендельсон: «Какой бы мы, однако, не избрали подход к проблеме парадоксов, следует сперва исследовать язык логики и математики, чтобы разобраться в том, какие в ней могут быть употреблены символы, как из этих символов составляются термы, формулы, утверждения и доказательства, что может и что не может быть доказано, если исходить из тех или иных аксиом и правил вывода. В этом состоит одна из задач математической логики» (Мендельсон Э. Введение в математическую логику. 3-е изд. М., 1984, с. 11). Развитие и применение мощного технического аппарата самой логики в первую очередь относится к программе Гильберта (начиная с 1904), где была поставлена главная задача: найти строгое основание для математики посредством доказательства ее непротиворечивости, т.е. доказательства того факта, что в ней недоказуема никакая формула вида А вместе с формулой ~А. Для этого потребовалось развить теорию доказательств (см. Доказательств теория), после чего, считал Гильберт, используя только финитные методы (см. Финитизм), можно будет доказать непротиворечивость теории множеств и самой теории действительных чисел и т.о. решить проблему оснований математики.

Однако результат К.Гёделя о неполноте арифметики (1931) убедительно показал, что программа Гильберта невыполнима. Грубо говоря, эта теорема утверждает, что если теория S, содержащая арифметику, непротиворечива, то доказательство непротиворечивости теории не может быть проведено средствами самой теории S, т.е. всякое такое доказательство обязательно должно использовать невыразимые в теории S идеи и методы (вторая теорема о неполноте). Примером тому может служить доказательство непротиворечивости арифметики, предложенное Г.Генценом (1936).

Обширным полем деятельности для современной символической логики является теория рекурсии, которая в первую очередь имеет дело с проблемой разрешимости: доказуема или нет формула А из некоторого множества посылок. Эти исследования привели к теориям вычислимости, к созданию компьютерных программ автоматического поиска доказательств. Решение проблемы разрешимости (см. Разрешения проблема) явилось основным стимулом для создания теории алгоритмов. Формулировка тезиса Чёрча–Тьюринга (см. Алгоритм), утверждающего, что понятие общерекурсивной функции является уточнением интуитивного понятия алгоритма, явилось важнейшим достижением символической логики. Только после уточнения понятия алгоритма выяснилось, что в хорошо известных разделах математики существуют алгоритмически неразрешимые проблемы.

И наконец, важное место в современной символической логике занимает теория моделей (см. Моделей теория), которая изучает фундаментальные связи между синтаксическими свойствами множеств предложений формального языка, с одной стороны, и семантическими свойствами их моделей, с другой; и вообще, изучаются соотношения между моделями и теориями, а также преобразование моделей. Зачастую модели используются как инструмент для того, чтобы показать, что некоторая формула А не может быть дедуцирована из определенного множества постулатов или, если А есть аксиома, то показать недоказуемость А из остальных аксиом системы, к которой А принадлежит (если это возможно). Тогда А является независимой аксиомой.

Совершенно очевидно, что те впечатляющие результаты, которые были получены средствами символической логики, и в первую очередь в области оснований математики, привели к некоторому гипостазированию функции и предмета самой этой логики. В предисловии

к«Handbook of mathematical logic» (1977) Дж.Барвайс пишет: «Математическая логика традиционно подразделяется на четыре раздела: теория моделей, теория множеств, теория рекурсии и теория доказательств». В свою очередь в «Encyclopedia Britanica» (CD-1998), уже применительно к символической логике, четыре указанных раздела названы «четырьмя главными областями исследования». Более точно было бы говорить о применении технического аппарата логики в данных областях, поскольку теория множеств и теория рекурсии сами по себе являются самостоятельными математическими дисциплинами и не являются частью символической логики. Теория доказательств для некоторых математиков-логиков превратилась чуть ли не в «метаматематику» (термин Гильберта), а теория моделей давно вышла за пределы логической семантики. Развитие современной логики показывает, что термин «символическая логика» гораздо шире термина «математическая логика», где под последней понимается изучение тех типов рассуждений, которыми пользуются математики. Символизация и представление различных логических теорий в виде исчислений стало обычным делом и поэтому строго разделить современные логические исследования на относящиеся к символической логике и не относящиеся к ней порой просто невозможно (см. Неклассические логики, Философская логика).

Суждение — это форма мышления, в которой утвержда­ется или отрицается связь между предметом и его признаком, отношения между предметами или факт существования предме­та; суждение может быть либо истинным, либо ложным.

Языковой формой выражения суждения является предложение. Подобно тому как понятия не могут возникнуть и существовать вне слов и словосочетаний, так и суждения не могут возникнуть и суще­ствовать вне предложений. Однако единство суждения и предложе­ния не означает их полного совпадения. И если всякое суждение выражается в предложении, то из этого не следует, что всякое пред­ложение выражает суждение. Суждение выражается повествова­тельным предложением, в нем содержится сообщение о чем-либо.

вопросительные и побу­дительные предложения суждений не выражают.

Суждение и предложение различаются по своему составу.

Суждение о связи предмета и его признака состоит из двух поня­тий — двух терминов суждения: субъекта, отражающего предмет суждения, и предиката, отражающего признак предмета. Субъект и предикат обо­значаются латинскими буквами S и Р. Кроме субъекта и предиката суждение включает в свой состав связку — элемент суждения, кото­рый соединяет оба термина суждения, утверждая или отрицая при­надлежность предмету некоторого признака.

Главные члены предложения могут совпадать с субъ­ектом и предикатом суждения только в простом нераспространен­ном двусоставном предложении.

Различие между суждением и предложением состоит также в том, что грамматический строй предложения в разных языках различен. Логическая же структура суждения одинакова независимо от его выражения в том или ином языке.

Таким образом, суждение и предложение образуют неразрывное единство, но это единство включает в себя определенные различия, которые необходимо учитывать, так как отождествление суждения как формы мышления и предложения как его языкового выражения порождает ошибки в их анализе.

Суждения делятся на простые и сложные.

Обобщение и ограничение понятий

Обобщить понятие – значит перейти от понятия с меньшим объемом, но с большим содержанием к понятию с большим объемом, но с меньшим содержанием. Например, обобщая понятие «Министерство юстиции Российской Федерации», мы переходим к понятию «министерство юстиции». Объем нового (общего) понятия шире исходного (единичного) понятия; первое относится ко второму как •индивид к виду. Вместе с тем содержание понятия, образованного в результате обобщения, уменьшилось, так как мы исключили его индивидуальные признаки.

Продолжая операцию обобщения, можно последовательно образовывать понятия «министерство», «орган государственного управления». Каждое последующее понятие является родом по отношению к предыдущему.

Из приведенного примера видно, что для образования какого-либо нового понятия путем обобщения нужно уменьшить содержание исходного понятия, т.е. исключить видовые (или индивидуальные) признаки.

Обобщение понятия не может быть беспредельным. Наиболее общими являются понятия с предельно широким объемом – категории, например «материя», «сознание», «движение», «свойство», «отношение» и т.п. Категории не имеют родового понятия, обобщить их нельзя.

Ограничение понятия представляет собой операцию, противоположенную операции обобщения. Ограничить понятие– значит перейти от понятия с большим объемом, но с меньшим содержанием к понятию с меньшим объемом, но большим содержанием. Чтобы, например, ограничить понятие «юрист», мы переходим к понятию «следователь», которое в свою очередь можем ограничить, образовав понятие «следователь прокуратуры». Пределом ограничения понятия является единичное понятие (например, «следователь прокуратуры Иванов»).

/ 45

Таким образом, изменяя объем исходного понятия, мы изменяем и его содержание, осуществляя тем самым переход к новому понятию – с большим объемом и меньшим содержанием (обобщение) или меньшим объемом и большим содержанием (ограничение).

Логические операции обобщения и ограничения понятий широко применяются в практике мышления: переходя от понятий одного объема к понятиям другого объема, мы уточняем предмет нашей мысли, делаем наше мышление более определенным и последовательным. Так, расследование преступления связано с установлением его признаков. Установив, например, что данное деяние является преступным, следователь обнаруживает у него признаки преступления против собственности. Дополнительное расследование выявляет новые признаки, позволяющие квалифицировать это преступление как вымогательство. Мысль движется от понятия большего объема к понятию меньшего объема: «деяние (А) – преступление (В) – преступление против собственности (С) – вымогательство

(D)» – рис. 10.

Возможен и противоположный ход мысли. Устанавливая, например, что данное конкретное деяние является оскорблением, мы относим его к преступлениям против чести и достоинства личности, осуществляя таким образом операцию обобщения понятия.

Обобщение и ограничение понятий не следует смешивать с мысленным переходом от части к целому и рид ^о выделением части из целого. Например, сутки делятся на часы, часы на

минуты, минуты на секунды. Каждое последующее понятие не является видом предыдущего, которое в свою очередь нельзя рассматривать как родовое. Поэтому переход от понятия «час» к понятию «сутки» – не обобщение, а переход от части к целому; переход от понятия «час» к понятию «минута» – не ограничение, а выделение части из целого.

Простые суждения

Суждение - это форма мышления, представляющая собой утверждение или отрицание существования предметов и явлений, связей между предметами и их свойствами или об отношениях между предметами. Суждение обладает признаками быть истинным или ложным, и выражается в языке с помощью повествовательных предложений и риторических вопросов.

Связи и отношения выражаются в суждении посредством утверждения или отрицания.

Всякое суждение может быть либо истинным, либо ложным, т.е. соответствовать действительности либо не соответствовать ей. Если в суждении утверждается связь, существующая в действительности, или отрицается связь, которая в действительности отсутствует, то такое суждение будет истинным.

Отличие суждения от понятия: суждение невозможно без понятий (это связь понятий), иная структура (понятие -содержание и объем, суждение - субъект, связка, предикат! суждение имеет логическое значение (истинно или ложно).

Языковой формой выражения суждения является предложение. Подобно тому как понятия не могут возникнуть и существовать вне слов и словосочетаний, так и суждения не могут возникнуть и существовать вне предложений. Но единство суждения и предложения не означает их полного совпадения. И если всякое суждение выражается в предложении, то из этого не следует, что всякое предложение выражает суждение. Суждение выражается повествовательным предложением, в нем содержится сообщение о чем-либо. Вопросительные и побудительные предложения суждений не выражают.

Суждение и предложение различаются по своему составу.

В суждении выделяют предмет, или субъект суждения (который обычно обозначают латинской буквой S) и предикат суждения, отражающий признак предмета (обозначается латинской буквой Р), а также связку, выражаемую словами "есть" (утвердительная связка) или "не есть" (отрицательная связка) или их синонимическими эквивалентами.

Главные члены предложения могут совпадать с субъ­ектом и предикатом суждения только в простом нераспространенном двусоставном предложении.

Различие между суждением и предложением состоит также в том, что грамматический строй предложения в разных языках различен. Логическая же структура суждения одинакова независимо от его выражения в том или ином языке.

Таким образом, суждение и предложение образуют неразрывное единство, но это единство включает в себя определенные различия, которые необходимо учитывать, так как отождествление суждения как формы мышления и предложения как его языкового выражения порождает ошибки в их анализе.

Простейшую форму суждения можно выразить следующим образом:

а) (S есть Р) - форма утвердительного суждения

б) (S не есть Р) - форма отрицательного суждения.

Различают суждения простые: "Иванов - юрист", "Иванов любит музыку" и т. п. и сложные суждения: "Иванов - юрист и любит музыку".

Простое суждение содержит одно утверждение или одно отрицание. Сложное суждение состоит из двух или большего числа простых суждений, утверждений или отрицаний, соединенных особыми логическими союзами (пропозициональными связками), которые в языке выражаются словами "и" (конъюнкция), "или", "либо" (нестрогая и строгая дизъюнкция) и т.д.

Как простые, так и сложные суждения имеют два основных значения истинности - "истинно" (будем в дальнейшем обозначать буквой И) и "ложно" (буквой Л). Истинность простых суждений устанавливается обращением к соответствующим предметам непосредственно. Истинность сложных суждений зависит от истинности простых суждений и логических союзов (пропозициональных связок), которые в них используются.

Истинным суждением является такое суждение, которое соответствует действительности: "Москва - столица России" - истинное суждение. "Киев - столица Белоруссии" - ложное суждение, т.к. действительности не соответствует.