Бесконечные ряды

Парабола Архимеда

Первое свидетельство применения бесконечного ряда обнаруживается у Архимеда в «Квадратуре параболы», где для доказательства утверждения о соотношении 4:3 площадей сегмента, заключённого между прямой и параболой, и треугольника, имеющего с ним то же основание и равную высоту, он суммирует бесконечный ряд:

,

и затем перепроверяет результат методом от противного^[6].

В 1340-е годы Суайнсхед впервые находит сумму бесконечного ряда, не являющегося простой убывающей геометрической прогрессией:

.

Также в XIV веке с бесконечными рядами работает Орем, используя ясные геометрические доказательства, он получает суммы достаточно нетривиальных числовых рядов, находит (без доказательства) формулу суммы бесконечной геометрической прогрессии и доказывает расходимость гармонического ряда^[6].

В XVI веке, используя результаты Орема, Томаш^[de] находит суммы некоторых бесконечных прогрессий, образованных сложными законами^[6]. В Индии в XV веке были получены разложения тригонометрических функций в бесконечные степенные ряды^[6], наиболее значительный вклад внёс Мадхава из Сангамаграмы (малаял. സംഗമഗ്രാമമാധവൻ)^[7].

Менголи (итал. Pietro Mengoli) в трактате, опубликованном в 1650 году устанавливает ряд важных свойств рядов, вводит понятие остатка ряда, тем самым неявно рассматривая ряды как целостные объекты, а также доказывает расходимость обобщённого гармонического ряда^[8]. Меркатор в 1668 году открывает разложение логарифмической функции в степенной ряд^[9], а в 1667 году Грегори — разложения тригонометрических функций, и, наконец, Тейлор, обобщая результаты Меркатора, Грегори, а также Ньютона, в 1715 году показывает возможность разложить в бесконечный ряд любую аналитическую функцию в заданной точке, тем самым установив возможность представления значений обширного класса функций бесконечными суммами.