Проверка гипотезы о равенстве дисперсий двух генеральных совокупностей

Пусть и — две генеральные совокупности, распределенные по нормальному закону с неизвестными дисперсиями и . Из генеральных совокупностей взяты две независимые выборки и и вычислены исправленные выборочные дисперсии и .

Требуется проверить нулевую гипотезу . В данном случае используется статистика

, (9.5.1)

которая имеет F‑ распределение (распределение Фишера) с и степенями свободы, если , и

, (9.5.2)

с числом степеней свободы и , если .

Если задаться уровнем значимости , то можно построить критические области для проверки нулевой гипотезы при двух альтернативных гипотезах:

a) , если , или , если . В этом случае критическая область правостороння . Граница критической области определяется из условия ;

b) . В этом случае критическая область двусторонняя. Однако можно использовать только правостороннюю область , где граница определяется из условия , если , и из условия , если .

Пример 4. При измерении производительности двух агрегатов получены следующие результаты в кг вещества за час работы:

При уровне значимости проверить гипотезу о равенстве дисперсий.

m Решение. Проверим нулевую гипотезу при альтернативной гипотезе . Вычислим «исправленные» выборочные дисперсии и . Для этого сначала найдем выборочные средние и :

; .

Тогда

;

.

Учитывая, что , определяет :

.

Критическое значение находим из условия

По таблице F‑ распределения (распределения Фишера) с и степенями свободы определяем .

Так как число попадает в критическую область , то гипотезу о равенстве дисперсий отвергаем. l

Замечание. Границу критической области было можно определить и не используя таблицы, например:

§ используя функцию FРАСПОБР (вероятность; степени_свободы1; степени_свободы2) из EXCEL. При этом задаваемый уровень значимости используется как аргумент «вероятность». В рассматриваемом примере получаем ;

§ используя функцию qF(P,d1,d2) из MATHCAD, где P — доверительная вероятность , d1 и d2 степени свободы. В рассматриваемом примере получаем .