Кроме того, случайные величины независимы, так как проводятся независимые испытания

Необходимые условия выполнены, поэтому возможно применение теоремы 2 Чебышева, учитывая, что - относительная частота появления события А в n-независимых испытаниях, а , получим

, ч.т.д.

Замечания

1. Применение теоремы Чебышева требует выполнения следующих условий:

Случайные величины должны быть попарно независимы;

2) они должны иметь одно и то же ;

Дисперсии их должны быть ограничены одним и тем же числом.

2. Из теоремы Бернулли не вытекает равенство . Речь идет лишь о вероятности того, что при достаточно большом числе испытаний относительная частота будет как угодно мало отличаться от постоянной вероятности появления события в каждом испытании. Т.е. при относительная частота стремится по вероятности к вероятности: .

Центральная предельная теорема Ляпунова.

Рассмотренный выше закон больших чисел устанавливает факт приближения средней большого числа случайных величин к определенным постоянным. Однако, при некоторых условиях совокупное действие случайных величин приводит к нормальному закону распределения.

Центральная предельная теорема состоит из группы теорем, устанавливающих связь между законом распределения суммы случайных величин и его предельной формой - нормальным законом распределения.