Дисперсия. Интегрируем по частям, где

Учитывая, что , имеем:

Пусть , тогда

Интегрируем по частям, где .

Тогда

Первое слагаемое равно 0, так как (по правилу Лопиталя), а второе равно

Определение 3. Дисперсия нормально распределенной случайной величины Х равна квадрату среднего квадратического отклонения.

При изменении параметров а и будет меняться нормальная кривая.

Если и и меняется параметр а , т.е. центр симметрии распределения, то нормальная кривая будет смещаться вдоль оси абсцисс, не меняя формы.

Если и меняется параметр , то меняется ордината максимума кривой . При увеличении ордината максимума кривой уменьшается, но так как S под любой кривой должна оставаться = 1, то кривая становится более плоской, растягиваясь вдоль оси абсцисс; при уменьшении - нормальная кривая вытягивается вверх, одновременно сжимаясь с боков.

Таким образом, параметр характеризует положение, а форму нормальной кривой.

Определение 4. Нормальный закон распределения случайной величины с параметрами и , называется стандартным или нормированным, а соответствующая нормальная кривая – стандартной или нормированной.

Свойства случайной величины, распределенной по нормальному закону:

1.

2. Функция , т.к. как показательная не может принимать значения , а параметр .

3. Предел функции при неограниченном возрастании равен нулю, т.е. ось ОХ является горизонтальной асимптотой графика функции.

Доказательство.

4. Функция имеет в точке максимум, равный .

Доказательство. Найдем :

критическая точка

Найдем :

Найдем знак в точке

по второму правилу нахождения экстремума в точке - .

5. График функции симметричен относительно прямой

6. Нормальная кривая в точках имеет перегиб.

График плотности нормального распределения имеет колоколообразную форму. Эта форма является отличительной чертой нормального распределения. Ее называют кривой Гаусса.

Используя определение центральных моментов, получим следующее рекуррентное (возвратное) соотношение:

Все нечетные центральные моменты = 0, так как . Найдем :

так как , то

Отсюда коэффициент асимметрии .

Эксцесс:

Следовательно, для нормального распределения