Уравнения равновесия

Для вывода уравнений равновесия вырежем бесконечно малый элемент пластины сечениями и (рис. 4.4). На рисунке изображены усилия, действующие на гранях элемента. Причем усилия на грани 3–4 отличаются от сил, действующих на грань 1–2 тем, что координата y получила приращение dy, поэтому:

.

Рис. 4.4. Равновесие элемента

Аналогичное рассуждение приводит к соотношениям:

.

Так как элемент под действием внутренних сил находится в равновесии, можно получить три уравнения:

1) сумма всех сил в проекции на ось x:

;

2) сумма всех сил в проекции на ось y:

;

3) сумма моментов наименьшего порядка малости всех сил относительно точки 4:

.

После выполнения простых преобразований из первых двух уравнений имеем два дифференциальных уравнения:

, . (4.1)

Из третьего алгебраического уравнения следует тождество: , которое называют законом парности касательных сил (напряжений). Отметим, что уравнений недостаточно для вычисления усилий . Поэтому пластина является статически неопределимой конструкцией. Для расчета напряженного состояния пластины необходимо перейти к уравнениям равновесия относительно перемещений точек срединной поверхности. Внутренние силы связаны законом Гука с деформациями срединной поверхности.