Занятие 17. Геометрические свойства движений. Аналитическое задание движения

Задачи

1. Отображение f плоскости в себя задано в ортонормированном репере формулами x′= а1x+ b1y+ c1, y′= а2x+ b2y+ c2, причем матрица является ортогональной. Доказать, что: а) f – преобразование плоскости; б) f – движение.

2. Длина отрезка равна длине отрезка . Отображение плоскости переводит точку в точку и точку в точку . Является ли движением?

3. Сколько всего различных движений отображают равносторонний треугольник на себя?

4. Доказать, что при движении параллелограмм переходит в параллелограмм, прямоугольник – в прямоугольник, ромб – в ромб, квадрат – в квадрат.

5. Доказать, что если при движении лучи a и b с общим началом переходят соответственно в лучи a' и b', то биссектриса угла (a, b) переходит в биссектрису угла (a', b').

6. При каком значении отображение, заданное формулами является движением?

7. При каком значении отображение, заданное формулами является движением?

8. Движение плоскости имеет не более одной инвариантной точки. Это движение может быть

1) параллельным переносом; 2) движением первого рода; 3) осевой симметрией; 4) скользящей симметрией?

9. Какие из следующих совокупностей движений являются группами:

1) совокупность всех параллельных переносов в заданном направлении;

2) совокупность всех поворотов с центром в данной точке;

3) совокупность всех движений, отображающих данный равнобедренный треугольник на себя;

4) совокупность всех движений первого рода?