Занятие 15. Параллельный перенос и поворот плоскости

Задачи

1. При переносе на вектор точка переходит в точку , а при переносе на вектор точка переходит в точку . Найти: а) образ точки при переносе на вектор ; б) образ точки при переносе на вектор .

2. Длины отрезков и равны. Отображение плоскости переводит данную точку в точку и точку в точку . Является ли отображение параллельным переносом?

3. Сколько существует параллельных переносов плоскости, отображающих прямую на параллельную ей прямую ?

4. Доказать, что параллельный перенос является преобразованием плоскости.

5. Составить формулы параллельного переноса на вектор , если известно, что при этом переносе точка A (1; 2) переходит в точку А ₁, принадлежащую прямой и .

6. Относительно группы параллельных переносов являются эквивалентными следующие фигуры:

1) две окружности одного и того же радиуса; 2) два направленных отрезка одинаковой длины и одного направления; 3) сонаправленные лучи; 4) два квадрата с равными сторонами?

7. Дан параллелограмм ; – окружности радиуса R с центрами в точках соответственно. Найти:

1) образы окружностей и при переносе на вектор ;

2) образы окружностей и при переносе на вектор ;

3) образ прямой, проходящей через точку и перпендикулярной прямой , при переносе на вектор .

8. Дан правильный треугольник (буквы расставлены в порядке обхода вершин по часовой стрелке); точка – центр треугольника. Укажите: а) образ точки при повороте ;

б) образ точки B при повороте ;

в) образы точек A, B, C при повороте ;

г) образы точек A, B, C при повороте .

9. Сколько существует различных поворотов, переводящих точку в точку ?

10. Дан квадрат ABCD с центром O. Найти образы следующих фигур при повороте :

а) луч AB;

б) прямая, проходящая через точку B и параллельная прямой AC;

в) полуплоскость, определяемая прямой BC и содержащая точку O.

11. Дан правильный треугольник ABC с центром O. Найти образы следующих фигур при повороте :

а) отрезок BC;

б) луч CA;

в) полуплоскость, определяемая прямой AB и не содержащая точку O.

12. При повороте точка переходит в точку . Составить формулы поворота, если известно, что его центр принадлежит прямой . Найти образ начала координат при этом повороте.

13. При центральной симметрии Z_А точка М переходит в точку K, а при центральной симметрии Z_В точка K переходит в точку P. Доказать, что при переносе на вектор точка M переходит в точку P.

14. Доказать, что всякое преобразование плоскости, заданное в аффинном репере формулами , , является центральной симметрией с центром в точке S (x ₀; y ₀).

15. На прямой найти точку, которая при центральной симметрии с центром в начале координат переходит в точку, принадлежащую прямой .

16. Составить формулы центральной симметрии Z_S, при которой точка переходит в точку, принадлежащую прямой , если известно, что центр S принадлежит прямой x+y –5=0.

17. Относительно группы поворотов с общим центром следующие фигуры являются эквивалентными:

1) две гиперболы с центром в точке ; 2) два луча с началом в точке ; 3) две произвольные прямые; 4) две прямые, одинаково удаленные от точки ?