Логические операции

Простейшими логическими опера­циями над предикатами также, как в исчислении высказываний, являются отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация и эквиваленция.

Отрицание (t ₁, t ₂,¼ t_n) есть одноместная операция, посредством которой из данной формулы F (t ₁, t ₂,¼ t_n) полу­чают ее отрицание.

Пример. Если Р ² (х, a)= «х находится на a» и a =«стол», то формулы:

а) " x ()= «для всех х верно, что х не находится на a»;

б) = «не для каждого х верно, что х находит­ся на a»;

в) = «не существует х, для которого верно, что х находится на a».

В логике предикатов недостаточно использовать таблицы истинности для доказательства истинности рассуждения необходимо использовать аксиомы исчисления предикатов.

Конъюнкция (F ₁(t ₁₁, t ₁₂, ..t_1n)Ù F ₂(t ₂₁; t ₂₂;.. t_2n)) есть двуместная операция, посредством которой из двух формул F ₁ и F ₂ получают новую формулу F (t ₁₁, t ₁₂,¼ t_1n, t ₂₁, t ₂₂,¼ t_2n) с числом предметных переменных и постоянных, равным их объединению у исходных формул. Значение формулы истинно тогда и только тогда, когда истинны обе форму­лы F ₁ и F ₂.

Пример. Если P ₁(х) =«выдающийся музыкант» и

P ₂(х) = «талантливый писатель», то формулы:

а) $ x (P ₁(х))Ù$ x (P ₂(х))=«существуют выдающиеся музыканты и существуют талант­ливые писатели»;

б) $ x (P ₁(х)Ù P ₂(х))=«существуют лица, являю­щиеся талантливыми писателями и выдающимися музыкантами»

Пример. Если х – предметная переменная для индивида, а – предметная постоянная для индивида (например, Саша) и P ²₁ (х, a)=«х дру­жит с a», P ²₂. (х, a)=«х встретил a» то фор­мулы:

а) $ x (P²₁.(х, a) ÙP²₂.(х, a))= «Саша встретил друга»;

б) $ x ( ÙP²₂.(х, a))=«Саша встретил недруга»

в) =«не каждый встречный есть друг Саши»;

r) $ x (P ²₁.(х, a) Ù ())= «существуют друзья, с которыми Саша не встречается».

Дизъюнкция (F ₁(t ₁₁, t ₁₂, ..t_1n)Ú F ₂(t ₂₁; t ₂₂;.. t_2n)) есть двуместная опе­рация, посредством которой из двух формул F ₁ и F ₂ получают новую формулу F (t ₁₁, t ₁₂,¼ t_1n, t ₂₁, t ₂₂,¼, t_2n) с числом предметных переменных и постоянных, равным их объединению у исходных формул. Значение формулы истинно тогда и только тогда, когда истинна хотя 6ы одна из формул F ₁ или F ₂.

Пример. Если х, у предметные переменные для городов России, P ²₁.(х, y)= «переезд из х в у поездом»; P ²₂.(х, y)= «переезд из х в у самолетом»; P ²₃.(х, y)= «переезд из х в у автобусом», то формулы:

a) " x " y (P ²₁.(х, y)Ú P ²₂.(х, y)Ú P ²₃.(х, y))= «для всех городов России возможен переезд поездом, автобусом или самолетом»;

б) – «не для всех городов x существуют города y, между которыми невозможен переезд автобусом или самолетом, но возможен поездом».

Импликация (F ₁(t ₁₁, t ₁₂,.., t _1n)® F ₂(t ₂₁, t ₂₂,.., t _2n)) есть двухместная операция, посредством которой из двух формул F ₁и F ₂ получают новую формулу F (t ₁₁, t ₁₂,¼ t_1n, t ₂₁, t ₂₂,¼, t_2n) с числом предметных переменных и постоянных, равным их объедине­нию у исходных формул. Значение формулы ложно тогда и только тогда, когда F ₁ истинно, а F ₂ – ложно.

Пример. Если х – предметные переменные для индивида, P ₁(x)= «быть судьей», P ₂(x)= «быть юристом», то допустимы формулы:

a) " x (P ₁(x)® P ₂(x))= «все судьи – юристы»;

б) =«неверно, что все юристы – судьи».

Пример. Если х – предметная переменная для животного и P ₁(x)=«хищное животное», а P ₂(x)= «кошка» то допустима формула:

" x (P ₂(x)® P ₁(x))= «все кошки – хищные животные».

Пример. Если х – предметная переменная для индивида и P ₁(x)=«x принадлежит к большинству», а P ₂(x)= «x стремится к миру» допустима формула:

$ x (P ₁(x)Ù P ₂(x))Ù" x (P ₁(x)® P ₂(x))=«большинство людей стремится к миру».

Пример. Если х, y – предметная переменная для индивида и P ₁(x)=«быть юношей», P ₂(x)=«быть девушкой», P ²₃.(х, y)=«х любит у», P ²₄.(х, y)=«х женат на у», то допустимы формулы:

a) " x (P ₁(x)®$ y (P ₂(x)Ù P ²₃.(х, y))=«каждый юноша любит хотя бы одну девушку»;

б) " x " y (P ₁(x)Ù P ₂(y)Ù P ²₃.(х, y)® P ²₄.(х, y))=«юноши и девушки, которые любили друг друга, сформировали семьи».

Эквиваленция (F ₁(t ₁₁, t ₁₂,.., t _1n)«F ₂(t ₂₁, t ₂₂,.., t _2n)) есть двумест­ная операция, посредством которой из двух формул F ₁ и F ₂ получают новую формулу F (t ₁₁, t ₁₂,¼ t_1n, t ₂₁, t ₂₂,¼, t_2n) c числом предметных переменных и постоянных, равным их объединению у исходных формул. Значение формулы истинно тогда и только тогда, когда обе формулы F ₁ и F ₂ имеют одно и то же значение истины или лжи.

Пример. Если х – предметная переменная для животных и P ₁(x)= «быть тюленем», P ₂(x)=«быть ластоногим живатным», то допустима формула:

" x (P ₁(x)«P ₂(x)= «все тюлени – ластоногие животные».

Пример. Если х – предметная переменная, Р (х) – предикат, то допустима формула $ x (P (x))« =«суще­ствует переменная х, для которой Р (х) истинно, эквивалентное для всех х Р (х) ложно».