Конечно-разностная аппроксимация

Пусть нижний индекс соответствует координате, а верхний времени, например , и кроме того, - шаг по координате, -по времени.

Аппроксимация производных имеет вид:

обозначим , тогда подстановка в уравнение теплопроводности даёт:

- плотность поверхностных источников,

полученную разностную схему перепишем в виде:

где - оператор, действующий на функцию .

Причина неустойчивости явной схемы при больших заключается в том, что для больших собственных значений , выражение , при уменьшении уменьш. неустойчив.

.

Явная схема устойчива только при малых шагах по времени. Для повышения устойчивости можно перейти к неявным схемам, например,

, которую можно переписать как явную

,

где - обратный оператор, эта схема обладает лучшей устойчивостью.

Задание №18. Численное решение уравнения теплопроводности по явной разностной схеме. Выявление неустойчивости.

Уравнение: ,

Граничные условия: ,

Начальное условие гауссоида, центрированная относительно

Аналитическое решение имеет вид

где .

Задание.

Убедиться, что для шага по времени при явная схема работает устойчиво, а при неустойчиво (осцилляции).

Задание №19. Остывание шара.

Уравнение теплопроводности имеет вид:

и заменой переменных приводится к виду:

(как плоская стенка)

начальное условие:

граничные условия:

Вариант 1: Вычислить время остывания варённого куриного яйца,

в центре шара. Аналитическое решение даётся интегралом Пуассона

Вариант 2: За какое время остынет чугунное ядро в центре со до , .

Задание №20. Нагревание длинного стержня.

Как быстро распространяется температурная волна? Из уравнения

теплопроводности- бесконечно быстро, т.е. при сколь угодно малом,

(противоречит молекулярной физике!). Чтобы избежать этого надо брать конечное изменение температуры.

Рассмотрим краевую задачу подробнее, будем считать стержни теплоизолированными от воздуха и пренебрегаем излучением. Соответствует задаче о соприкосновении двух длинных стержней с разностью температур . Начальное условие приближённо имеет вид для правого стержня:

Х правый стержень

{полагая, что стержень тонкий, и источник поддерживает постоянную температуру, получаем граничное условие} . Для правого конца где - длина стержня (это условие приближённое, с запасом, ).

Аналитическое решение рассматриваемой задачи имеет вид:

где - функция ошибок, см. Тихонов, Самарский, «Уравнения математической физики», с.233. Найдём скорость температурной волны, для этого приравняем «фазу» в двух близко расположенных точках

под скоростью будем понимать величину

Из полученной формулы видно, что скорость изменения координаты с заданной температурой зависит от материала, например, , и, кроме того, скорость уменьшается со временем. Для проверки можно осуществить следующий эксперимент:

Можно осуществить такой же компьютерный эксперимент (с графическим изображением падающих кнопок) при повышении , например, на . Отметим, что скорость тепловой волны зависит также от фазы, т.е. от значения температуры, которую мы «ждём» в точке наблюдения.

Замечания по поводу численной реализации алгоритма.

При задании граничного условия на свободной границе вносится дополнительная погрешность, снизить которую можно или «удлинением стержня» или переформулировкой граничного условия.

В первом случае запас по длине нужно выбирать с учётом допустимой погрешности решения. В нашем случае помогает анализ аналитического решения:

при , при этом

при , при этом

при , при этом

таим образом, достаточно выбрать .

Во втором случае можно, например, ввести бесконечный граничный элемент, тогда:

Х

будет оказывать демпфирующее воздействие на . Во втором случае длину можно ограничить . Хорошо бы сравнить численные результаты.