Тепловое излучение. Как уже отмечалось, излучение телами электромагнитных волн (в частности света) может осуществляться за счет различных видов энергии

Как уже отмечалось, излучение телами электромагнитных волн (в частности света) может осуществляться за счет различных видов энергии. Наиболее универсальным является тепловое излучение, которое происходит при любой температуре за счет внутренней энергии тел. Тепловое излучение является равновесным, т. е. если тело при некоторой температуре поместить в идеально отражающую оболочку (рис. 1), количество излученной им энергии будет равно количеству энергии поглощенной.

Рис. 3.

Интенсивность теплового излучения принято характеризовать энергетической светимостью R – величиной потока энергии (в ваттах), испускаемой единицей поверхности во всех направлениях. Эта величина является функцией температуры и, кроме того, зависит от частоты w. Для интенсивности теплового излучения в диапазоне частот dw можно записать

dR_w = r_w dw. (1)

Величина r_w в (1) называется испускательной способностью тела и также является функцией частоты и температуры. Зная испускательную способность r_w, можно вычислить энергетическую светимость:

µ

R = òdR_wT = òr_wTdw. (2)

Излучение можно характеризовать вместо частоты w длиной волны l. Участку спектра dw будет соответствовать интервал длин волн dl. Определяющие один и тот не участок величины dw и dl связаны простым соотношением, вытекающим из формулы: l = с/ v = 2pc/w (частота v и угловая частота w связаны соотношением w = 2p v). Дифференцирование этой формулы дает:

(3)

Знак минус в этом выражении указывает на то, что с возрастанием одной из величин, поэтому в дальнейшем мы его не будем писать.

Доля энергетической светимости, приходящаяся на интервал dl, может быть по аналогии с (1) представлена в виде:

dR_l = r_l dl. (4)

Если интервалы dw и dl, входящие в выражения (1) и (4), связаны соотношением (3), т. е. относятся к одному и тому же участку спектра, то величины dR_w и dR_l будут совпадать: r_wdw = r_l dl. Заменив в правой части dl с соответствии с (3), получим:

, (5)

откуда

(5¢)

При попадании на элементарную площадку тела определенного потока энергии dФ_w, обусловленного электромагнитными волнами в интервале частот dw, часть его dФ¢_w будет поглощена. Величина

a_Т,w = dФ¢_w/dФ_w (6)

называется поглощательной способностью тела, a_Т,w = a(Т,w). Очевидно, что a (Т, w) не может быть больше 1. Для тела, полностью поглощающего падающее на него излучение, a_ч = 1 и такое тело называют абсолютно черным или черным. Тела с a_Т,w = a(Т) = const < 1 называют серыми.

Очевидно, что между испускательной r_lТ и поглощательной a_lT способностями любого типа имеется определённая связь. Действительно, пусть имеется замкнутая оболочка при температуре Т и внутри нее тела обмениваются энергией между собой и оболочкой путём излучения и поглощения. Через некоторое время наступит тепловое равновесие. В таком состоянии, тело с большей r_l теряет в единицу времени с единицы поверхности больше энергии, чем тело, обладающее меньшей r_l. Т.к. Т = const, то и поглощательная способность его должна быть больше, т.е. должно выполняться условие: (r_w,Т/а_w,Т)₁ = (r_w,Т/а_w,Т)₁ = (r_w,Т/а_w,Т)₁ = …, где индексы соответствуют разным телам.

Кирхгоф установил, что для любых тел справедливо соотношение:

r_w,Т/a_w,Т = f(w,Т) = r_ч. (7)

Или отношение испускательной и поглощательной способностей не зависит от природы тел и является универсальной функцией частоты (длины волны) и температуры. Но поскольку для абсолютно черного тела a_ч = 1, то эта функция равна его испускательной способности r_ч и характеризует полную плотность излученной энергии при тепловом равновесии. Абсолютно черных тел в природе не существует. Хорошей моделью черного тела является замкнутая полость, имеющая маленькое
отверстие (s_отв << S_полост), рис. 2. Излучение, проникшее внутрь полости через отверстие, прежде чем выйти назад, претерпевает многократные отражения от стенок. При каждом отражении часть энергии передается стенке, в результате чего практически вся энергия передастся стенке. Согласно закону Кирхгофа испускательная способность такого тела близка к f(w,Т) при температуре стенок полости Т.

Результаты экспериментов, полученные с такой моделью, приведены на рис. 3. Разные кривые относятся к различным значениям температуры Т абсолютно черного тела. Площадь, охватываемая кривой, дает энергетическую светимость абсолютно черного тела при соответствующей температуре. Кривые спектрального распределения излучения абсолютно черного тела для более низких температур целиком лежат внутри кривых, соответствующих более высоким температурам. Из рисунка видно, что энергетическая светимость сильно возрастает с температурой, а максимум испускательной способности сдвигается в сторону более коротких волн.

На рис. 3 приведена не кривая f(w,Т), а кривая j(l,Т), поскольку в экспериментальных работах удобнее измерять (изменять) длину волны, а не частоту. Обе функции связаны друг с другом формулой, аналогичной (5, 5¢):

. (8)

Согласно (8), для того, чтобы по известной функции f(w,Т) найти функцию j(l,Т) нужно заменить в функции f(w,Т) частоту w на (2pс/l) и полученное выражение умножить на (2pс/l²):

и обратно: . (9)

Формулы Рэлея-Джинса и Планка

Рэлей и Джинс сделали попытку определить функцию f(w,Т), исходя из теоремы классической статистики о равнораспределении энергии по степеням свободы. Они предположили, что на каждое электромагнитное колебание приходится в среднем энергия, равная двум половникам kT – одна половинка на электрическую, вторая – на магнитную энергию волны

Рассмотрим излучение, находящееся в равновесии с веществом. Для этого представим себе эвакуированную полость, стенки которой поддерживаются при постоянной температуре Т. В равновесном состоянии энергия излучения будет распределена в объеме полости с определенной плотностью u = u(Т). Спектральное распределение этой энергии можно охарактеризовать функцией u(w, Т), определяемой условием: du_w = u(w, Т)dw, где du_w, – доля плотности энергии, приходящаяся на интервал частот dw. Полная плотность энергии может быть представлена в виде:

µ

u(T) = òu(w,T)dw. (10)

Равновесная плотность энергии излучения u(Т) зависит только от температуры и не зависит от свойств стенок полости. Это следует из термодинамических соображений.

Равновесная плотность излучения u связана с энергетической светимостью абсолютно черного тела R соотношением

R = cu/4 или f(w,T) = cu(w,T)/4. (11)

График, построенный в соответствии с формулой

или (12)

полученной Рэлеем и Джинсом приведен на рис. 4 (пунктирная линия).

Однако данная формула – Рэлея-Джинса – удовлетворительно согласу-ется с экспериментом (сплошная кривая на рис. 3) только при больших длинах волн и резко расходится с экспериментом для малых длин волн. Интегрирование (12) по всем динам волн дает для равновесной плотности излучения бесконечно большое значение. Этот результат, получивший название ультрафиолетовой ката-строфы, противоречит опыту.

Вывод формулы Рэлея – Джинса с классической точки зрения является безупречным. Поэтому расхождение этой формулы с опытом указывало на существование каких-то закономерностей, несовместимых с представлениями классической статистической физики и электродинамики.

Формулу, соответствующую опытным данным

(13)

получил Планк, но для этого он отказался от классических представлений, и предположил, что электромагнитное излучение происходит в виде отдельных порций (квантов), величина которых пропорциональна частоте излучения:

e = w. (14)

Коэффициент пропорциональности в формуле (14) = h/2p, h = 6,62 10^-34 Дж с, где h – носит название постоянной планка.

Формула Планка (13) успешно объяснила полученный ранее из термодинамических соображений закон Стефана-Больцмана, который установил связь между энергетической светимостью абсолютно черного тела R_ч и его температурой:

R_ч = sТ⁴, (6)

где s – постоянная Стефана-Больцмана, равная 5,7 10^-8 Вт/(м² К⁴).

Преобразования в соответствии с (9) для j(l,Т) дают:

. (7)

Из формулы Планка для j(l,Т), после приравнивания к нулю ее производной по температуре, следует установленный ранее экспериментально закон смещения Вина.

Тl_м = b, (8)

где l_м – длина волны, соответствующая максимуму на кривой (рис. 3, 4), а b – постоянная, равная 2, 9 10^-3 м К.

Кривые равновесной плотности излучения для разных температур были приведены ранее на рис. 3. Как видно из рисунка площадь под кривой с ростом температуры увеличивается в соответствии с законом (6), а максимум смещается в область более коротких волн в соответствии с законом (7).